Преподавание красивой математики в школах

[lg10]

Полагаю, не секрет, что почти во всех обычных школах обучение математики принимает весьма извращенную форму: оно превращается в натаскивание на решение типовых задач какого-нибудь ЕГЭ, которые представляют собой неестественные длинные уравнения, "счетную" геометрию и прочие сугубо технические, мало привлекательные вещи. Конечно, техника важна. Но она не должна затмевать красоту и изящество математики. Кроме того, школьник, познавший второе, будет достаточно мотивирован, чтобы преодолевать разные технические трудности.

Сейчас у большинства людей сформировано мнение о математике как о скучной "служанке наук", целью которой является оперирование с длинными формулами и выполнение каких-нибудь подсчетов. Думаю, это стало следствием упомянутой технико-ориентированности школьного курса.

Есть, конечно, продвинутые физмат школы, кружки. Но все это существует далеко не во всех нестоличных городах. А если и существует, то не всегда так, как хотелось бы. В частности, занятия в кружках нередко превращаются скорее в натаскивание на решение олимпиад. Хорошо, если это хотя бы олимпиады, а не перечневые олимпиады, которые представляют собой перевоплотившиеся ДВИ и, порой, сильно похожи на ЕГЭ. Даже если есть "правильный" кружок, где решают интересные задачи, изучают новую теорию и нет сильного преобладания "спортивного подхода", у потенциально талантливого ученика может не возникнуть желанию туда ходить, если школа уже сформировала отвращение к математике.

Так почему же в общеобразовательных школах не преподают "красивую" математику? Например, мне кажется уместным базовый курс теории чисел, предполагающий такие темы, как базовые свойства сравнений, алгоритм Евклида, основную теорему арифметики с док-вом, МТФ, вывод формулы для пифагоровых троек, обратимость вычетов, китайскую теорему об остатках. Все это может стать темами для весьма красивых сюжетов и решения интересных задач. А в старших классах можно сильным ученикам давать арифметику гаусовых чисел и их помощь в решении разных диофантовых уравнений. Конечно, не стоит делать упор только на теорию чисел. Много красивого и интересного есть и в других школьных разделах: планиметрия, комбинаторика, элементарная алгебра, стереометрия. С анализом все несколько сложнее. Некоторые вообще не находят его уместным в школьном курсе, но это тема другого обсуждения. Мне кажется весьма подходящей подборка материала, который рассказывает школьникам А. В. Савватеев в своих "100 уроков математики".
Список того, что хотелось бы изменить в школьной математикой программе может быть продолжен неограниченно.

Мне хотелось бы спросить участников формула, что думают они? Согласны ли они с проблемами обозначенными мной? Возможна ли такая утопичная реформа математического образования? Целесообразна ли?

[Pphantom]

lg10 в сообщении #1312108 писал(а):

Полагаю, не секрет, что почти во всех обычных школах обучение математики принимает весьма извращенную форму: оно превращается в натаскивание на решение типовых задач какого-нибудь ЕГЭ, которые представляют собой неестественные длинные уравнения, "счетную" геометрию и прочие сугубо технические, мало привлекательные вещи.

Что-то мне кажется, что Ваши представления несколько устарели. В "каком-нибудь ЕГЭ" перечисленного почти нет.

lg10 в сообщении #1312108 писал(а):

Сейчас у большинства людей сформировано мнение о математике как о скучной "служанке наук", целью которой является оперирование с длинными формулами и выполнение каких-нибудь подсчетов. Думаю, это стало следствием упомянутой технико-ориентированности школьного курса.

А что, это неправда?

Если серьезно, то подавляющему большинству людей математика и нужна как инструмент для какой-то другой деятельности (и научной, и ненаучной). Но из этого совсем не следует, что такая математика обязана быть скучной.

lg10 в сообщении #1312108 писал(а):

В частности, занятия в кружках нередко превращаются скорее в натаскивание на решение олимпиад. Хорошо, если это хотя бы олимпиады, а не перечневые олимпиады, которые представляют собой перевоплотившиеся ДВИ и, порой, сильно похожи на ЕГЭ.

Возможно, я идеалист, но что-то мне не попадались кружки, целенаправленно натаскивающие на решение задач олимпиады ведомственных учреждений (или как там ее). А задачи "Турнира городов", СПбМО, ММО и т.п. трудно назвать "перевоплотившимися ДВИ".

lg10 в сообщении #1312108 писал(а):

Так почему же в общеобразовательных школах не преподают "красивую" математику? Например, мне кажется уместным базовый курс теории чисел, предполагающий такие темы, как базовые свойства сравнений, алгоритм Евклида, основную теорему арифметики с док-вом, МТФ, вывод формулы для пифагоровых троек, обратимость вычетов, китайскую теорему об остатках. Все это может стать темами для весьма красивых сюжетов и решения интересных задач. А в старших классах можно сильным ученикам давать арифметику гаусовых чисел и их помощь в решении разных диофантовых уравнений.

На то есть три ответа.

Первый уже фактически написан выше: это крайне мало кому надо. Конечно, какому-то одному ученику из нескольких сотен это, наверное, понравится... но для всех остальных это будут совершенно бесполезные знания, красоты которых они не усмотрят.

Второй состоит в том, что красивые вещи становятся таковыми, когда их красиво преподают. Можно хотеть вставить в школьную программу что угодно красивое, но для этого нужны учителя, которые смогут это красиво преподавать. То, что их в должном количестве нет и не будет даже при идеальной системе подготовки педагогов (коей тоже нет), наверное, очевидно.

Ну и, наконец, третий ответ... а почему Вы решили, что это - красиво, а, например, "непрерывная" вычислительная математика - нет? У меня вот, например, вкусы прямо противоположные, причем они не изменились с тех времен, когда я был школьником.

[lg10]

Pphantom в сообщении #1312113 писал(а):

задачи "Турнира городов", СПбМО, ММО и т.п. трудно назвать "перевоплотившимися ДВИ"

С этим я полностью согласен. Я неточно выразился, я имел ввиду не все перечневые олимпиады, а, скорее, их значительное подмножество.

[Pphantom]

lg10 в сообщении #1312116 писал(а):

Я неточно выразился, я имел ввиду не все перечневые олимпиады, а, скорее, их значительное подмножество.

Ну так это "значительное подмножество" на кружках обычно и не обсуждается.

[lg10]

Pphantom в сообщении #1312113 писал(а):

подавляющему большинству людей математика и нужна как инструмент для какой-то другой деятельности (и научной, и ненаучной)

Вы правы. Но мне кажется, что главная цель изучения математики в школе - систематизация мышления. Математика является, вероятно, самой точной и одновременно прекрасной областью человеческого познания. И эту мысль, я думаю, необходимо донести до каждого. К тому же, человек, усвоивший фундаментальную математику, вряд ли испытает трудности с прикладными аспектами. (В обратную сторону, это, естественно, не работает.)

-- 13.05.2018, 17:15 --

Pphantom в сообщении #1312119 писал(а):

Ну так это "значительное подмножество" на кружках обычно и не обсуждается.

Кружки бывают разные. Тут я основывался на своих наблюдениях, относящихся, скорее, к нестоличным городам, где нет богатой "кружковой" культуры.

-- 13.05.2018, 17:17 --

Pphantom в сообщении #1312113 писал(а):

"непрерывная" вычислительная математика

Что Вы подразумеваете под этим понятием?

[Pphantom]

lg10 в сообщении #1312122 писал(а):

Но мне кажется, что главная цель изучения математики в школе - систематизация мышления.

Одна из целей. Ориентироваться только на нее слишком дорого (во всех смыслах слова), желательно, чтобы обучение преследовало и какие-то другие цели тоже.

lg10 в сообщении #1312122 писал(а):

Математика является, вероятно, самой точной и одновременно прекрасной областью человеческого познания. И эту мысль, я думаю, необходимо донести до каждого.

В предположении, что эта мысль верна. Впрочем, даже в этом случае попытки принудительно доносить мысли такого рода редко когда оказываются успешными.

lg10 в сообщении #1312122 писал(а):

К тому же, человек, усвоивший фундаментальную математику, вряд ли испытает трудности с прикладными аспектами. (В обратную сторону, это, естественно, не работает.)

В прямую сторону это точно так же не работает.

[amon]

Вставлю-таки пять копеек. IMHO, научно-техническое сообщество устроено наподобие пирамиды. На вершине - математика (странно это слышать от физика, но IMHO это так), потом идут теоретики первой руки, которые могут на равных разговаривать с математиками, потом - второй, которые понимают первых. Где-то в середине - продвинутые инженеры, внизу - всякие граждане, которым нужна зарплата побольше, делать поменьше и ни за что не отвечать. Вокруг клубится еще некое количество "свободных художников" (некая значительная часть математиков, IMHO, сейчас перешла в эту категорию) и т.п. На вершине этой пирамиды народу мало, но и залезть туда не всякий может. Система школьного образования должна давать необходимый минимум знаний обитателям подножья пирамиды и отбирать потенциальных небожителей. Советская система образования и организация учебного процесса худо-бедно с этой задачей справлялась. Для потенциальных небожителей издавалась литература (тот же Квант и еще много чего), была система спецшкол, система олимпиад, иерархия вузов (я советскую власть не люблю, но тут вынужден признать ее достижения). Сейчас со всем этим проблемы.

lg10, то, что вы предлагаете - это для потенциальных небожителей, которых один на 1000 детей или меньше. Для большинства это лишняя головная боль и ничего больше.

[Mikhail_K]

lg10 в сообщении #1312108 писал(а):

Полагаю, не секрет, что почти во всех обычных школах обучение математики принимает весьма извращенную форму: оно превращается в натаскивание на решение типовых задач какого-нибудь ЕГЭ, которые представляют собой неестественные длинные уравнения, "счетную" геометрию и прочие сугубо технические, мало привлекательные вещи. Конечно, техника важна. Но она не должна затмевать красоту и изящество математики.

Я учился в самой обычной городской школе в провинции, не в физико-математической, совсем не блещущей какими-то показателями.

Но с первого по девятый класс у нас были факультативы по математике. Никакой высшей математики там не было - ни теории чисел, ни анализа, ни других разделов, которые обычно проходят в вузе. Но учителя искренне старались заинтересовать учеников - и иногда это получалось.
Причём, вели эти факультативы разные учителя, это не была инициатива кого-то одного.

С первого по третий класс у нас был предмет "Логика и конструирование". Не помню, что там было, да и не особо я на него ходил - но, кажется, какие-то интересные задачки на логику и пространственное воображение. С пятого по шестой класс - предмет "Наглядная геометрия", где нестрого, без доказательств, нас готовили к курсу геометрии, показывали разные интересные факты из планиметрии и стереометрии. С седьмого по девятый класс - просто безымянный "факультатив по математике", где решали разные нестандартные задачи, задачи повышенной сложности, много внимания уделяли модулям и всякому такому, рассказывали про историю математики.
Кроме того, с пятого по одиннадцатый класс учителя устраивали нам математические вечера и конкурсы несколько раз в год. Ничего серьёзного там не было (школа, повторюсь, совсем не сильная и средний уровень учеников довольно низкий) - не было каких-то нетривиальных теорий или натаскивания на олимпиадные задачи. Но было много веселья, и это было доступно всем, а не только лучшим ученикам.

К чему я это говорю? Мне как-то совсем не верится, что такого нет в большинстве других школ. Может, это и не то чего хочет ТС - но заинтересовать учеников математикой в самой средней и обычной школе вполне реально.

И я слышал, что в последнее время в школах уже в обязательном порядке от учителей требуют вводить различные "элективные курсы", "курсы по выбору", где проходить что-то дополнительное к школьному материалу. Конечно, обязаловка - это не очень хорошо, и многие учителя могут использовать это время реально для какого-нибудь скучного "натаскивания на ЕГЭ". Но всё-таки, и не всё так плохо: это возможность для тех учителей, которые заинтересованы в своём предмете, использовать это время под что-нибудь по-настоящему интересное.

Pphantom в сообщении #1312113 писал(а):

Второй состоит в том, что красивые вещи становятся таковыми, когда их красиво преподают. Можно хотеть вставить в школьную программу что угодно красивое, но для этого нужны учителя, которые смогут это красиво преподавать.

Вот с этим полностью соглашусь.
Не нужно стараться ничего вводить "сверху" в школьную программу.
Надо довериться учителям.
Потому что, как бы негативно кто ни относился к известному высказыванию Медведева, сейчас в учителя идут только энтузиасты - это факт. Все остальные не задержатся на этой работе - из-за экстремально низких зарплат, и зачастую очень нездоровой атмосферы отношений между учителями, учениками, родителями и руководством школы.

Значит, всё что можно и нужно делать - не вводить какие-то законы и коррективы в школьную программу, а зажечь и поддерживать огонь энтузиазма в тех, кто будет учителями. Если энтузиазм есть, учителя сами придумают, как сделать свой предмет интересным. Нужно ли для этого рассказывать теорию чисел, или анализ, или решать с учениками олимпиадные задачи, или что-то ещё; учителя сами найдут необходимые для этого источники, продумают свои занятия. Надо только им не мешать.

И здесь самая большая ответственность лежит на вузовских преподавателях. Куда идут выпускники специальности "Математика"?: куда угодно. Кто-то идёт в аспирантуру и становится учёным; кто-то идёт в программисты, в банки, на заводы, или куда-нибудь в совсем не связанные с математикой места; но кто-то идёт в школы.
Поэтому, преподавая математику, вузовские преподаватели должны стараться передать свой энтузиазм, свою любовь к математике своим студентам. Чтобы студенты видели, что математика - это захватывающе. Тогда они передадут эту искру и школьным ученикам. А уж каким образом - придумают сами.
Вот на чём надо сконцентрироваться тем, кто хочет изменить Мир.

[lg10]

Pphantom в сообщении #1312125 писал(а):

попытки принудительно доносить мысли такого рода редко когда оказываются успешными

Я имею ввиду не навязывание философских взглядов, а просто показать школьникам красоту математики.

-- 13.05.2018, 17:44 --

Mikhail_K в сообщении #1312127 писал(а):

учителя идут только энтузиасты

Видел множество контрпримеров. Это учителя, которые сами-то не знают чем математика красива и интересна. Они практически не знают математику за рамками школьного курса, не имеют желания развиваться, не пытают любопытства к науке, а только жалуются на бюрократическую волокиту и мучают натаскиванием на ЕГЭ (хорошо, если они хотя бы сами хорошо его решают) и решением шаблонных задач.

-- 13.05.2018, 17:47 --

Mikhail_K в сообщении #1312127 писал(а):

зажечь и поддерживать огонь энтузиазма

А какими средствами это можно сделать?

[SomePupil]

lg10 в сообщении #1312108 писал(а):

Согласны ли они с проблемами обозначенными мной? Возможна ли такая утопичная реформа математического образования? Целесообразна ли?

Не знаю насчет реформы, скорее всего, она невозможна и не нужна. Но этим вполне можно заниматься локально.

Есть тут парень, который учится курсом выше меня. Он работает со школьниками, немного подрабатывая на этом. У него собрался контингент где-то из 9-10 классов. Мне довелось пару раз побывать на его занятиях и даже поучиться вместе с ребятами. Должен сказать, было весьма интересно: там были всякие матрицы Адамара, функции Мёбиуса, производящие функции (в школе я, например, о таких только краем уха слышал), и, что меня удивило, дети усердно работали и были по-настоящему заинтересованы.

[Mikhail_K]

lg10 в сообщении #1312129 писал(а):

А какими средствами это можно сделать?

Ну, это не наука, а искусство по-моему.
Как минимум, быть самому заинтересованным, всё время узнавать что-то новое, что-то включать в свои курсы, постоянно их модернизировать. Преподаватель всегда имеет возможность немного варьировать изучаемый материал, что бы там ни было написано в программе. Если есть интерес, то студенты и сами увидят, что преподаватель знает больше чем написано в учебнике и рассказывает об этом увлечённо. Поди, и сами заразятся этим энтузиазмом. А без интереса со стороны преподавателя, по-моему, всяческие "педагогические технологии" и "средства и методы обучения" работать не будут.

-- 13.05.2018, 17:16 --

lg10 в сообщении #1312129 писал(а):

Видел множество контрпримеров. Это учителя, которые сами-то не знают чем математика красива и интересна.

Это Вы про молодых или пожилых?
Если о последних, то для меня это неудивительно. Я говорю об учителях, которые, во-первых, достаточно молоды, недавно закончили университет, во-вторых, проработали в школе несколько лет и не собираются оттуда сбегать при первой возможности.

[Metford]

Красота - ну очень субъективное нечто. Например, в стартовом сообщении было много примеров из теории чисел. Я в разное время пытался приобщиться к ней, но до сих пор не испытываю к ней малейшего интереса. Для меня интересна была геометрия (не в школьном варианте), но я знаю - и все, наверное, знают людей, для которых геометрия не привлекательна ни в какой форме. Т.е. на факультативах, я считаю, лучше демонстрировать разнообразие предмета. Да, для этого нужен хороший учитель, который не просто умеет рассказывать, но и которому есть что рассказать. Увы, с такими напряжёнка...

[Dmitriy40]

Позвольте я молча присоединюсь к следующим высказываниям:

Mikhail_K в сообщении #1312127 писал(а):

Не нужно стараться ничего вводить "сверху" в школьную программу.
Надо довериться учителям.

Mikhail_K в сообщении #1312127 писал(а):

Поэтому, преподавая математику, вузовские преподаватели должны стараться передать свой энтузиазм, свою любовь к математике своим студентам. Чтобы студенты видели, что математика - это захватывающе. Тогда они передадут эту искру и школьным ученикам. А уж каким образом - придумают сами.

Pphantom в сообщении #1312113 писал(а):

Ну и, наконец, третий ответ... а почему Вы решили, что это - красиво, а, например, "непрерывная" вычислительная математика - нет? У меня вот, например, вкусы прямо противоположные, причем они не изменились с тех времен, когда я был школьником.

(Последнее - что "о вкусах не спорят" и они бывают очень разные.)

[lg10]

Pphantom в сообщении #1312113 писал(а):

Ну и, наконец, третий ответ... а почему Вы решили, что это - красиво, а, например, "непрерывная" вычислительная математика - нет? У меня вот, например, вкусы прямо противоположные, причем они не изменились с тех времен, когда я был школьником.

Metford в сообщении #1312149 писал(а):

Красота - ну очень субъективное нечто.

Dmitriy40 в сообщении #1312154 писал(а):

"о вкусах не спорят" и они бывают очень разные

Я не говорю, что именно теория чисел является самой красивой областью и только ее надо давать. Думаю, из всех "школьных" разделов можно выбрать красивые сюжеты и задачи. Однако, не все красивое доступно школьникам. Так, например, нет возможности массово вводить такие разделы, как топология, вычислительная математика, алгебраическая геометрия, в школьный курс математики, не смотря на то, что для многих они кажутся самыми интересными. Но некоторые красивые вещи отличаются доступностью и элементарностью. Именно их обычно изучают на "правильных кружках". Это - элементарная теория чисел, комбинаторика, элементарная алгебра, "школьная" геометрия и некоторые другие разделы.

Я полностью согласен с тем, что следует демонстрировать разнообразие предмета. Особенно важно показывать неожиданные связи, которые возникают между, казалось бы, далекими разделами. Например, между ТЧ и геометрией.

[root_knowledge]

amon в сообщении #1312126 писал(а):

Вставлю-таки пять копеек. IMHO, научно-техническое сообщество устроено наподобие пирамиды. На вершине - математика (странно это слышать от физика, но IMHO это так), потом идут теоретики первой руки, которые могут на равных разговаривать с математиками, потом - второй, которые понимают первых. Где-то в середине - продвинутые инженеры, внизу - всякие граждане, которым нужна зарплата побольше, делать поменьше и ни за что не отвечать. Вокруг клубится еще некое количество "свободных художников" (некая значительная часть математиков, IMHO, сейчас перешла в эту категорию) и т.п. На вершине этой пирамиды народу мало, но и залезть туда не всякий может. Система школьного образования должна давать необходимый минимум знаний обитателям подножья пирамиды и отбирать потенциальных небожителей. Советская система образования и организация учебного процесса худо-бедно с этой задачей справлялась. Для потенциальных небожителей издавалась литература (тот же Квант и еще много чего), была система спецшкол, система олимпиад, иерархия вузов (я советскую власть не люблю, но тут вынужден признать ее достижения). Сейчас со всем этим проблемы.

lg10, то, что вы предлагаете - это для потенциальных небожителей, которых один на 1000 детей или меньше. Для большинства это лишняя головная боль и ничего больше.

А ребята которые допустим яндекс сделали, они сильные инженеры или небожители?
А Стивен Вольфрам к какой категории относится?

Pphantom писал(а):

Ну и, наконец, третий ответ... а почему Вы решили, что это - красиво, а, например, "непрерывная" вычислительная математика - нет? У меня вот, например, вкусы прямо противоположные, причем они не изменились с тех времен, когда я был школьником.

Вы так и не раскрыли, что это такое. А ведь многим интересно.