Условный экстремум, когда не работает метод Лагранжа

[arte-semaki]

Уважаемые коллеги,

Пусть надо найти точки условного экстремума функции $f(x,y)$ при наличии уравнения связи $\varphi(x,y)=0$. Я использую метод Лагранжа:
1. Составляю функцию Лагранжа.
2. Нахожу стационарные точки функции Лагранжа.
3. Дифференцируя уравнение связи, нахожу $dy=k\cdot dx$ и подставляю выражение для $dy$ во второй дифференциал функции Лагранжа $d^2L$.
4. Получаю $d^2L=0\cdot dx$.
Во всех источниках, которые я видел, пишут, что в этом случае требуются дополнительные исследования, но почему-то нигде не приводится пример этих исследований.

Мой вопрос: не может ли кто-нибудь привести ссылку на учебник или другой источник, в котором бы эти дополнительные исследования приводились?

[thething]

Тут имеется ввиду всякое: например, можно попытаться просто по определению выяснить характер экстремума или его отсутствие. Можно учесть, что, если система ограничений задает компакт, то непрерывная функция на нем достигает максимального и минимального значений, а дальше легко и просто выбрать из критических точек, какая что доставляет. Можно высшие дифференциалы подключить, наконец (чего никто никогда не делает). Можно проанализировать геометрический или физический смысл задачи (ну, типа минимум точно есть -- и только он один, а значит, его мы и нашли необходимым условием) и т.д.

Гляньте книжку Пантелеев Летова "Методы оптимизации в примерах и задачах". Какое-то дополнительное исследование там точно было

-- 09.05.2018, 07:41 --

Ну и вопрос к Вам, что Вы имели ввиду под вот этим

arte-semaki в сообщении #1311112 писал(а):

ифференцируя уравнение связи, нахожу $dy=k\cdot dx$

?

[Otta]

arte-semaki
Вы не могли бы все это разбирать на Вашем конкретном примере? Может, там действительно требуется дополнительное исследование, а может, Вы просто где-то ошиблись. Бывает.

[arte-semaki]

thething в сообщении #1311114 писал(а):

Ну и вопрос к Вам, что Вы имели ввиду под вот этим

arte-semaki в сообщении #1311112 писал(а):

ифференцируя уравнение связи, нахожу $dy=k\cdot dx$

?

$d\varphi=A\cdot dx+B\cdot dy=0 \Rightarrow dy=k\cdot dx$

Otta в сообщении #1311127 писал(а):

arte-semaki
Вы не могли бы все это разбирать на Вашем конкретном примере? Может, там действительно требуется дополнительное исследование, а может, Вы просто где-то ошиблись. Бывает.

У меня нет конкретного примера. Студенты во время занятия попросили привести такой пример, когда имеется несколько стационарных точек, для одних $d^2L\ne0$, для других $d^2L=0$, и пример доп. исследований для последних.

[thething]

А если вдруг $B=0$?

-- 09.05.2018, 12:58 --

Это я к тому, что не зря же это условие обычно формулируется так: $\varphi ' (a)h=0$.. Ну это так, скорее придирка уже

[Otta]

arte-semaki в сообщении #1311173 писал(а):

У меня нет конкретного примера. Студенты во время занятия попросили привести такой пример,

Тем более. Приведите. На нем и посмотрим.

[dsge]

arte-semaki в сообщении #1311112 писал(а):

не может ли кто-нибудь привести ссылку на учебник или другой источник, в котором бы эти дополнительные исследования приводились?

АТФ детально это разжевывают, в Галееве и Тихомирове наверняка тоже.