Об одной римановой поверхности

[Evgenii2012]

Уважаемые коллеги ! Нашёл в интернете такой пример римановой поверхности. Пусть $D={\Bbb H}$ -- верхняя полуплоскость, и пусть в ${\Bbb H}$ задана группа дробно-линейных отображений $G:={z\mapsto a^nz, n\in{\Bbb Z}}.$ Утверждается, что функция $z\mapsto e^{-2\pi i \log z/\log a}$ является естественной проекцией (накрывающей) ${\Bbb H}$ на риманову поверхность, "являющуюся образом полукольца $\{z\in {\Bbb H}: 1<|z|<a\},$ и значит, ${\Bbb H}/G=\{\omega: 1<|\omega|< e^{2\pi^2/\log a}\}$". Мне непонятно: 1) каким образом определили, что именно данное отображение будет накрывающей ? Вроде бы, отображение $z\mapsto e^{-2\pi i \log z/\log a}$ -- это просто отображение плоских областей, вполне себе однозначное, т.е., его образ - некоторая точка плоскости (или я ошибаюсь ?) 2) Я так понимаю, что риманова поверхность состоит из орбит, т.е., любой её элемент есть бесконечная последовательность, состоящая из связанных между собой через группу $G$ элементов из ${\Bbb H}.$ Однако, выше утверждалось, что ${\Bbb H}/G=\{\omega: 1<|\omega|< e^{2\pi^2/\log a}\},$ а это всего лишь некоторое множество на плоскости ! Буду благодарен Вам за обсуждение !

[DeBill]

Evgenii2012
1. Каким: давайте попробуем придумать отображение, которое в одну точку переводит все точки из одной (каждой) орбиты. Конечно, таких много. Ну, и самое простое из них - именно то. При этом, к счастью, точки разных орбит переходят в разные точки. Значит, можно отождествить фактор-пространство (т.е., пространство орбит) с образом. Но - с образом именно всей области, а не

Evgenii2012 в сообщении #1310428 писал(а):

его образ - некоторая точка плоскости

В формуле для полукольца - ошибка: одно из неравенств должно быть нестрогим. Честно найдите его образ (не спеша и постепенно: сначала - примените логарифм, домножьте-поделите, потом экспоненту - и получится то, что написано у вас - с двумя строгими неравенствами)
2. Не надо понимать буквально; надо - правильно: фактор МОЖНО отождествить с этой областью (т.е., существует взаимно-однозначное от-е одного на другое)

[Evgenii2012]

Уважаемый DeBill , большое спасибо за Ваше мнение. Хотел бы уточнить, что в том смысле, как Вы написали, речь идёт об отображении фактора на плоскую область, а не наоборот. Выходит, предложенное отображение как раз является обратным к естественной проекции, а не сама проекция. Так ли это ? Хотел бы также уточнить, образ чего Вы предлагаете найти ? У меня с нахождением образа при отображении, проблем нет, другое дело, я должен понимать: что на что мы отображаем, образ чего мы ищем ? Вы написали, что в одном из неравенств ошибка, уточните - в каком, ведь у нас есть $\{z\in {\Bbb H}: 1<|z|<a\},$ а есть ${\Bbb H}/G=\{\omega: 1<|\omega|< e^{2\pi^2/\log a}\},$ -- где именно ошибка ? Наконец, у нас множество $\{z\in {\Bbb H}: 1<|z|<a\},$ если я правильно понимаю, взаимно однозначно отображается на ${\Bbb H}/G,$ но нам зачем-то нужно ещё ${\Bbb H}/G=\{\omega: 1<|\omega|< e^{2\pi^2/\log a}\}.$ Зачем ? Буду благодарен за Вашу помощь

-- 06.05.2018, 18:18 --

DeBill, проверил, что образом $\{z\in {\Bbb H}: 1<|z|<a\}$ будет $\{\omega: 1<|\omega|< e^{2\pi^2/\log a}\},$ но вопросы (больше по логике суждений, чем по вычислениям) остались - буду рад услышать Ваш комментарий. Кстати, не пойму, почему опечатка в неравенствах - вроде бы, все неравенства строгие, или я не прав ?

[DeBill]

Evgenii2012 в сообщении #1310484 писал(а):

проверил, что образом

Это - неверно: образом половинки кольца будет кольцо с разрезом (биективный образ односвязной - односвязен)
Про факторы и проекции:
имеется естественная проекция области на фактор: точке ставится в соответствие орбита, содержащая точку.
Ваше отображение переводит орбиты в точки. Поэтому оно опускается (индуцирует отображение) до отображения фактор пространства на образ отображения. Выберем в области "фундаментальную область" (подмножество, пересекающееся с каждой орбитой ровно по одной точке). Тогда, поскольку сужение заданного отображения на фунд. область инъективно, "опущенное" отображение будет биекцией фактора на образ (фунд. области, равный , впрочем, образу всего).
В этом рассуждении существенна инъективность сужения от-я на фунд. область.
Замечание: полукольцо Ваше фунд. областью НЕ является: оно не пересекается с орбитой точки $i$, например.
И: топологически, фактор можно описать так: он получается из полукольца склейкой по граничным полуокружностям. Это - тополгически - цилиндр (т.е., кольцо)

[Evgenii2012]

DeBill в сообщении #1310495 писал(а):

Evgenii2012 в сообщении #1310484 писал(а):

Это - неверно: образом половинки кольца будет кольцо с разрезом (биективный образ односвязной - односвязен)

Мне показалось, что данное отображение как раз таки не биективно, проверю ещё раз

-- 06.05.2018, 19:12 --

DeBill, ещё раз спасибо за Ваше мнение, проверил биективность внутри кольца, ОК. Ясно, что одно из неравенств нестрогое -- ОК, не заметил множителя, когда считал. В первоначальном (моём) тексте не было сказано, что $\{z\in {\Bbb H}: 1<|z|<a\}$ -- фундаментальная область, а так бы сразу всё было понятно. Меня в этих рассуждениях сильно смущает, что у нас кольцо ${\Bbb H}/G=\{\omega: 1<|\omega|< e^{2\pi^2/\log a}\}$ отождествляется с пространством орбит. Я привык к тому, что орбита -- это не точка, это бесконечная последовательность элементов, которые отождествляются через группу дробно линейных отображений. Непонятно, зачем отождествлять дважды: у нас $\{z\in {\Bbb H}: 1<|z|<a\}$ со склеенными границами итак отождествляется с поверхностью, зачем нам ещё дополнительно нужно кольцо $\{\omega: 1<|\omega|< e^{2\pi^2/\log a}\}$ отождествлять тоже с поверхностью ? В чём суть "двойного" отождествления ? Также прошу Вас, если это возможно, дать чёткий ответ на вопрос: $z\mapsto e^{-2\pi i \log z/\log a}$ -- это отображение ${\Bbb H}/G$ на ${\Bbb H},$ так ли это, или нет ? Заранее благодарен !

[DeBill]

Вообще то, я уже все подробно написал. Но...

Evgenii2012 в сообщении #1310497 писал(а):

у нас кольцо ${\Bbb H}/G=\{\omega: 1<|\omega|< e^{2\pi^2/\log a}\}$ отождествляется с пространством орбит.

Не надо так писать, ладно? Кольцо - оно и есть кольцо. А ${\Bbb H}/G$ - это и есть, по определению, фактор.
Что есть орбита? Да, это куча элементов из исходной области. Что есть элементы фактора? Орбиты. Итак , точка из фактора - это орбита (т.е., целая куча точек). Так что фактор - это ужасно, не посмотреть на него, не пощупать... А хочется. Потому для фактора ищут подходящую и простую модель. Если это делается с целью исследования топологии фактора, то модель можно искать топологическую (строить гомеоморфизм фактора на каку-нить простую область). Если же интересна структура фактора как комплексного многообразия, ищут биголоморфизм фактора на подходящую "образцовую" риманову поверхность (часто - на область в $\mathbb{C}$). И, буде токой голоморфизм есть, отождествляют соответствующую область с этим абстрактным фактором. При этом слово "отождествляют" в точности и означает "есть биголоморфизм"

Evgenii2012 в сообщении #1310497 писал(а):

дать чёткий ответ на вопрос

Ну нет же. Это - отображение области на область. Но, как было сказано, оно ОПУСКАЕТСЯ до биголоморфизма фактора (абстрактного многообразия, ТОЧКАМИ которого являются ОРБИТЫ) на область (что и позволяет говорить "фактор можно отождествить с областью")

[Evgenii2012]

Уважаемый DeBill, я Вам очень благодарен за терпение и подробные ответы. Я стараюсь не задавать лишних вопросов, только самое главное. Получается, что кольцо $\{\omega: 1<|\omega|< e^{2\pi^2/\log a}\}$ нам нужно как передаточное звено, только для того, чтобы можно было легко выписать многозначное отображение фундаментальной области $D_0:=\{z\in {\Bbb H}: 1<|z|<a\}$ на пространство ${\Bbb H}/G$ - в сущности, этим многозначным отображением будет отображение $\varphi(z)=\psi\circ w,$ где $\psi(z)$ -- <<обратное>> к $w(z)=e^{-2\pi i \log z/\log a}$ (многозначное) отображение. В этом случае, $\varphi: D_0\rightarrow{\Bbb H}/G.$ Так ли это ? И ещё хотел бы уточнить: 1) правильно ли я понимаю, что данная риманова поверхность гиперболического типа -- ведь ${\Bbb H}$ конформно эквивалентна единичному кругу ? 2) правильно ли я понимаю, что поверхность ${\Bbb H}/G$ не является компактной (иначе бы замыкание фундаментальной области было бы компактом в ${\Bbb H}$) ? Буду благодарен Вам за Ваше мнение !

[DeBill]

Evgenii2012 в сообщении #1310543 писал(а):

Получается, что кольцо $\{\omega: 1<|\omega|< e^{2\pi^2/\log a}\}$ нам нужно как передаточное звено

(Давайте его обозначим через $K$). Нет, $K$ и есть риманова поверхность, эквивалентная фактору.
С отображениями у Вас как то тоже не все в порядке: посмотрите, кто куда действует; что то там не так.
Давайте еще раз: пусть $\pi$ - естественная проекция ${\Bbb H}$ на фактор, тогда - $\Phi = w\circ \pi^{-1}$ - изоморфизм фактора $S = {\Bbb H} /G$ на $K$.
Или: $\Psi =\pi \circ w^{-1} = \Phi^{-1}$ - изоморфизм $K$ на $S$.
$D_0$ - Вы так и не поправили неравенство...Что это - фунд. область? Или таки ее открытое подмножество?
1,2. Да. Да. И с правильным обоснованием (только добавить "универсальная накрывающая")

[Evgenii2012]

Уважаемый DeBill, больше спасибо ещё раз за Ваше мнение и подробные объяснения. Меня больше всего сбило с толку, что у нас почему-то два экземпляра одной и той же римановой поверхности: $S = {\Bbb H} /G$ и $K.$ Я смотрю на них, как на одну и ту же поверхность и мой вопрос, прежде всего, состоял в том, зачем нам две модели поверхности, если вполне достаточно работать с одной ? Теперь я понимаю, что $K,$ видимо, берётся просто для большей наглядности. Пространство ${\Bbb H} /G$ -- полноценная риманова поверхность, так как это пространство, локально гомеоморфное плоскости, снабжённое конформной структурой. Насколько правильны такие суждения на Ваш взгляд ? И ещё, хотел бы немного подправить свою предыдущую запись: имел в виду, что <<обратное>> отображение к $w(z)=e^{-2\pi i \log z/\log a}$ есть естественная проекция $D_0$ на ${\Bbb H}/G, $ где $D_0:=\{z\in {\Bbb H}: 1<|z|\leqslant a\};$ в частности, $w^{\,-1}$ отображает $D_0$ на ${\Bbb H}/G. $ Уточните, правильно ли сейчас.

[DeBill]

Evgenii2012 в сообщении #1310574 писал(а):

Насколько правильны такие суждения на Ваш взгляд ?

Абсолютно верно.

Evgenii2012 в сообщении #1310574 писал(а):

правильно ли сейчас.

Нет, и это ясно уже из - посмотрите, кто кого куда отображает.
Или Вам хочется еще и третью модель для $S$ рассмотреть (точками ее будут точки из $D_0$, окрестностями внутренних точек - обычные окрестности точек, лежащие в $D_0$, окрестностями граничных точек $z$, лежащих в $D_0$ - - пересечения с $D_0$ окрестностей точек $z$ и $\frac{z}{a}$ - т.е., то многообразие, полученное из полукольца (с граничными полуокружностями) склейкой этих полуокружностей)?

-- 07.05.2018, 04:16 --

Да в конце концов: нарисуйте картинку - диаграмму, со стрелочками, и буковками на стрелочках, с моими и Вашими обозначениями - и что там будет?

[Evgenii2012]

DeBill, да, понял, спасибо. Ключевой вопрос для меня - это вопрос о том, что для чего нужно в этом примере. Например, в книге Бердона, которую я изучаю, не принято работать с несколькими экземплярами одной и той же поверхности. Поэтому возник вопрос - для чего нужно $K,$ если есть ещё $S.$ Насколько я понимаю, $D_0$ -- фундаментальное множество, т.е., множество, на котором $w(z)$ взаимно однозначно, и которое содержит одну и только одну точку орбиты поверхности. Кроме того, в предыдущем сообщении подправляю: имел в виду, что $w^{\,-1}$ отображает $K$ на ${\Bbb H}/G.$ Согласны ли Вы с этими выводами ?

[DeBill]

DeBill в сообщении #1310568 писал(а):

Давайте еще раз: пусть $\pi$ - естественная проекция ${\Bbb H}$ на фактор, тогда - $\Phi = w\circ \pi^{-1}$ - изоморфизм фактора $S = {\Bbb H} /G$ на $K$.
Или: $\Psi =\pi \circ w^{-1} = \Phi^{-1}$ - изоморфизм $K$ на $S$.

[Evgenii2012]

DeBill, большое спасибо за сообщение. Добавить нечего - разве что, я должен быть внимательнее, естественно ) Спасибо за интересное обсуждение !

[DeBill]

Evgenii2012 в сообщении #1310604 писал(а):

имел в виду, что $w^{\,-1}$ отображает $K$ на ${\Bbb H}/G.$ Согласны ли Вы с этими выводами ?

Ааа, я , наконец, осознал, что Вы имели в виду.
Просто, для меня, $w^{-1}$ - аналитическая функция, в соответствии с классическим определением (т.е., совокупность канонических элементов, таких, что ....). Это - точное определение, соответствующее интуитивному понятию "многозначная функция". Вместе с тем, есть и точное определение многозначной функции (она каждой точке сопоставляет некое множество (ее "значений")). Ясно, что аналитической функции $F$ можно сопоставить многозначную функцию $[F]$ (ее значением в точке будет множество, состоящее из значений всех элементов $F$, определенных в этой точке. В частности, значением в точке $z$ многозначной функции $[w^{-1}]$ будет полный прообраз $w^{-1}(z)$). Так что, при таком (неклассическом) понимании обратной функции, - да, согласен (при условии, что в тексте будет приведено объяснение используемого понятия...)