Область сходимости функционального ряда

[Ёж]

Необходимо найти область сходимости функционального ряда
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5^n}{n(x^2-6x+13)^n}$.

По признаку Даламбера получаем:
$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{|f_{n+1}(x)|}{|f_{n}(x)|}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{5^{n+1}}{(n+1)|x^2-6x+13|^{n+1}}\frac{n|x^2-6x+13|^n}{5^n}=\frac{5}{|x^2-6x+13|}<1$.
Следовательно, данный ряд сходится (при этом абсолютно) для всех $x$ удовлетворяющих неравенству $\frac{5}{|x^2-6x+13|}<1$, т.е. для $x\in(-\infty;2) \cup(4;+\infty)$.
При $x=2$ и $x=4$ ряд принимает вид $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$. Это гармонический ряд. Он расходится.
Нужно ли доказывать, что данный ряд расходиться для $x\in(2;4)$?

[thething]

Ёж в сообщении #1310757 писал(а):

Нужно ли доказывать, что данный ряд расходиться для $x\in(2;4)$?

Нет, ибо следует из того же признака Даламбера, или хотя бы из того, что область сходимости Вы уже нашли. Значит всё остальное -- "область расходимости"

[mihaild]

Ну строго говоря нужно проговорить, что при $x \in (2; 4)$ предел из признака Даламбера больше $1$.

[thething]

Ёж в сообщении #1310757 писал(а):

данный ряд сходится (при этом абсолютно)

Эта оговорка, кстати, ни к чему, т.к. ряд знакопостоянный

[Ёж]

Всем спасибо большое!