Вычисление дивергенции с использование символа Кронекера

[Men007]

Вычислить $\operatorname{div}((\vec{r}\cdot\vec{a})\vec{r})$, где $\vec{a}$ - постоянный вектор.

Решение:

1) $\operatorname{div}((\vec{r}\cdot\vec{a})\vec{r}) = \operatorname{div}(\vec{r}(\vec{r}\cdot\vec{a}))=\partial_{i}(r_{i} r_{j} a_{j})=r_{j} a_{j} \partial_{i} r_{i}+r_{i} a_{j} \partial_{i} r_{j}=(\vec{r}\cdot\vec{a})\delta_{ii} + r_{i} a_{j} \delta_{ij}=3(\vec{r}\cdot\vec{a})+(\vec{r}\cdot\vec{a})=4(\vec{r}\cdot\vec{a})$

2) $\operatorname{div}((\vec{r}\cdot\vec{a})\vec{r}) =\partial_{i}(r_{i} a_{i} r_{j})=r_{i} a_{i} \partial_{i} r_{j}+r_{j} a_{i} \partial_{i} r_{i}=(\vec{r}\cdot\vec{a})\delta_{ij} + r_{j} a_{i} \delta_{ii}=\delta_{ij}((\vec{r}\cdot\vec{a})+(\vec{r}\cdot\vec{a}))=2\delta_{ij}(\vec{r}\cdot\vec{a})$

Не совсем разобрался с тензорами, но все же попробовал решить эту задачу по примерам, найденным в интернете.
В первом случае, ответ получился верный; а во втором случае решал аналогично, но ответ не выходит.
Скорей всего, это из-за моего не знания тензоров (а также из-за отсутствия примеров с нормальным объяснением).

[Munin]

Смотрите внимательно:

Men007 в сообщении #1310792 писал(а):

1) \LARGE$\partial_i(r_i r_j a_j)$

Так - можно и нужно. Каждый индекс (в одночлене) встречается ровно 1 или 2 раза. Если индекс встречается 2 раза, то это означает "эйнштейновское соглашение о суммировании":

$a_i b_i\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sum\limits_{i=1}^{n}a_i b_i.$

Men007 в сообщении #1310792 писал(а):

2) \LARGE$\partial_i(r_i a_i r_j)$

Так - нельзя ни в коем случае. Индекс нельзя писать 3 раза. Посмотрим, что у вас в скобках: $(r_i a_i r_j).$ В этой величине, это надо понимать, индекса $i$ уже нет. Он "связан", по нему уже проведено суммирование, так что остался "свободным" только индекс $j$ - то есть, перед нами вектор. Если мы хотим взять от него дивергенцию, то мы должны добавить снаружи оператор дифференцирования тоже с индексом $j$ - $\partial_j.$ Получится

\LARGE$\partial_j(r_i a_i r_j)$

и дальше все выкладки проделываются аналогично п. 1, и дают правильный ответ.

А вообще, если не знаете тензоров, и не стоит задачи решать именно через них, - решайте знакомыми методами.

[arseniiv]

Тогда добавим ещё традиционное:

При использовании тензоров в индексной записи полезно было бы различать верхние и нижние индексы. В таком случае сворачивать можно только верхний с нижним. Их можно путать, только когда задано скалярное произведение (метрический тензор $g$) — с помощью него можно опускать и поднимать индексы. Но многие результаты не зависят от наличия скалярного произведения, так что лучше уметь индексы разных типов различать.

Это если вы в тензоры будете окунаться дальше.

[Walker_XXI]

Men007 в сообщении #1310792 писал(а):

В первом случае, ответ получился верный; а во втором случае решал аналогично, но ответ не выходит.

Честно сказать, я не понял. 1 и 2 примеры идентичны, за исключением того, что под первым номером записано правильное решение, а вот что Вы пытались сделать под номером 2 - загадка. При правильной покомпонентной записи там должна быть производная $\partial_j$ и полное повторение пункта 1.

Смысл тензорного метода в том, что векторы и дифференциальные операторы расписываются покомпонентно и используются известные значения скалярных произведений базисных векторов и результата действия дифференциальных операторов на базисные векторы. Как сказали выше, по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Упрощение в том, что компоненты - это скалярные числовые функции координат. Но за свободу обращения со скалярными функциями приходится платить громоздкостью: компонент может быть много, плюс масса индексов.

В Вашем примере используется соотношение для частных производных $\displaystyle{\frac{\partial r_j}{\partial r_i} \equiv\partial_i r_j = \delta_{ij}}$