Difficult and beautiful 1 (open problem)

[ins-]

I'm sorry for double posting this problem, but I'm really interested about it.

It is given triangle ABC with points M, N, P on its sides (internally). U, V, W are intersection points of AN and CM, BP and AN, CM and BP. Triangle UVW is equaliteral. If AM=BN=CP is it true that ABC is equaliteral?

[нг]

“I’m sorry” is not good enough for violations of the forum’s rules (double posting).

It would be nice to have more informative headers as well. Most authors think their problem is “difficult and beautiful” but what area of mathematics is it? You can change title of a theme by editing title of the first message.

Double in “Помогите решить” is removed. You’ve selected correct correct section of the forum for your problem.

Please ask a moderator by private message when you want to separate messages to a new theme or in similar cases.

[ins-]

You are right. But the problem is really hard enough (because it is not solved by me and in 3 forums) and beautiful (because of symmetry). I checked it as a geometry problem. Any suggestion about "Тема" field? I want my posts to be interesting and valuable.

[незваный гость]

ins- писал(а):

(because it is not solved by me and in 3 forums)

Can you prove, it did not happen for lack of interest? I did not even look into it…

ins- писал(а):

beautiful (because of symmetry)

I am symmetrical. Does it mean that I am beautiful? Girls do not support this assumption Or do I need rotational symmetry?!

A word of advice: moderators here are very sensitive to rules-related exchange in the themes. They prefer to resolve such issues either by PM or thru Работа форума.

[ins-]

I don't believe it is because of lack of interest. My opinion is it because it is not an easy problem. It is "not standard" in some way.

About symmetry - my opinion is if your left hand is 50 см. longer than your right hand you will not look better. And the girls are things without logic. Most of them simply like money ... other ... who know... I don't know all girls in my country, and even in my district, but most of these who I know are as I described them.

I underestimated this forum. But I had here very good ideas for my problems. There is almost no one not solved problem proposed by me. Thank you for the advise about the admins.

[ins-]

I've an idea for solution. But I'm not good enough with the trygonometry.
1. Denote:
a) angles AMC, BNA, CPB with M, N, P respectively;
b) AM=BN=CP=x;
c) UV=VW=WU=y;.
2. Look at the triangles AMU, BNV and BMW - using Sine Law 3 times and fact that sum in angles in angles in triangle is 180 degrees we get a relation between x, y, M, N.
3. By similar way we may get a relations between x, y, N, P and x, y, P, M.
4. By excluding x, y from these relations we will get an equation only for M, N, P and I suppose it will gave as with some beautiful application of the trygonometry that M=N=P (see http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=9504 for solution of my first problem) ... and from here it is easy.

I've no enough skills in trygonometry and please if someone with such skills as TOTAL for example to write the right steps for the solution or only hints.

Comment:
If I'm right it is very probably to have lots of interesting problems in the following that every math competition may be proud with and with differences in their solutions that are not routine:
Suppose M, N, P are points on AB, BC, CA respectively (internally). U, V, W are intersection points of CM and AN; AN and BP; BP and CM; respectively. I think that if we have two triples
a) segment1=segment2=sement3 and segment11=segment22=sement33;
b) segment1=segment2=sement3 and angle1=angle2=angle3;
c) angle1=angle2=angle3 and angle11=angle22=angle33;
(In all triple we have "symmetric" angles/segments). I will not ask you to solve all such problems but I'll be very happy if you compose such a problem, find a correct solution and it appears in some competition or magazine who knows they may even appears at IMO...

--
B. Mirchev

[ins-]

May the trial for solution of the problem give you some right direction for solution of the problem?
May someone write clear enough solution?
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=209516 - it is the trial...(post 37 on page 2)

[e2e4]

Цитата:

equaliteral

equilateral to be correct. Равносторонний то есть.

[ins-]

Yes.

[e2e4]

ins- писал(а):

It is given triangle ABC with points M, N, P on its sides (internally). U, V, W are intersection points of AN and CM, BP and AN, CM and BP. Triangle UVW is equaliteral. If AM=BN=CP is it true that ABC is equaliteral?

Да, это верно.


Доказательство:
Все обозначения соответствуют авторским обозначениям в задаче.
Лемма 1: Пусть из вершин произвольного треугольника ABC проведены лучи так, что точки пересечения лучей являются вершинами равностороннего треугольника UVW. Точки пересечения лучей остаются вершинами равностороннего треугольника, тогда и только тогда, когда все три луча одновременно поворачиваются относительно своих начал в одинаковом направлении (по или против часовой стрелки) и только на одинаковый угол.
Доказательство: Углы при вершинах равностороннего треугольника равны между собой и составляют $60^o$. Проведем луч BP', являющийся поворотом относительно вершины B против часовой стрелки на угол $\alpha$ луча BP. Точка P' - точка пересечения луча со стороной АС, а точку пересечения луча BP' с лучом AN обозначим V'. Нетрудно убедиться, что угол VV'B составит $120^o - \alpha$.
Проведем луч AN', являющийся поворотом относительно вершины A против часовой стрелке на угол $\beta$ луча AN. Точка N' - точка пересечения луча со стороной BС, а точку пересечения луча AN' с лучом BP' обозначим V''. Точка V'' должна быть вершиной нового равностороннего треугольника, стороны которого должны лежать на лучах AN' и BP'. Тогда угол AV''V' должен составлять $60^o$. Из треугольника AV'V'' угол $\beta$ таким образом составит $180^o - (120^o - \alpha) - 60^o = \alpha$.
Аналогично рассуждаем для луча CM.
$\square$

1. Рассмотрим теперь произвольный треугольник ABC, и пусть в нем проведены лучи AN, BP, CM такие, что точки их пересечения образуют равносторонний треугольник UVW, а AM=BN=CP. Предположим, что ABC не равносторонний. Отложим на рассоянии $l$ от точки P на стороне AC точку P', от точки N на стороне BC точку N', от точки M на стороне AB точку M' так, что AM' = CP' = BN'. Очевидно, что т.к. треугольник ABC не равносторонний, углы между лучами BP и BP', AN и AN', CM и CM' не будут равны, а, следовательно (по Лемме 1), треугольник, образованный точками пересечения лучей AN', BP', CM' - не равносторонний.

2. Так как расстояние AM=BN=CP выбирается произвольно, мы вправе выбрать новые точки M, N, P для того же треугольника ABC, совпадающие с точками M', N', P' из п.1 доказательства, и провести аналогичные п. 1 рассуждения, взяв расстояние $-l$, таким образом доказав, что треугольник, образованный точками пересечения лучей AN, BP, CM - также не равносторонний. Но это противоречит условию, а, значит, предположиние, что треугольник ABC не равносторонний, не верно.

Вроде как-то так. Если я не ошибся в рассуждениях, напишите - переведу на английский.

I wrote a variant of the proof, if it is correct (I hope that some other will see it and write his/her opinion), i will translate it in english.

[ins-]

I would you like to thank you for the time spent with this problem ... it was interesting for me ... I like to invent problems but it sometimes is not easy to solve them. I'll check your solution word by word and if it is correct I'll translate it in English and Bulgarian. If there is something wrong I'll say it. In the past I was QA in software company so you may believe I'll check it very carefully, but it will require some time (till tomorrow lunch time I'll give response).

[TOTAL]

e2e4 писал(а):

Очевидно, что т.к. треугольник ABC не равносторонний, углы между лучами BP и BP', AN и AN', CM и CM' не будут равны

Докажите, что не равны.

Добавлено спустя 14 минут 49 секунд:

e2e4 писал(а):

2. Так как расстояние AM=BN=CP выбирается произвольно

Расстояние не выбирается произвольно.

[ins-]

TOTAL, may you try to solve this problem you had brilliant ideas for my first problem. You said it is an easy problem but long time no one had solved it. They said similar problem was given at India TST 2008.

[e2e4]

TOTAL писал(а):

e2e4 писал(а):

Очевидно, что т.к. треугольник ABC не равносторонний, углы между лучами BP и BP', AN и AN', CM и CM' не будут равны

Докажите, что не равны.

По-моему, это очевидно из-за соображений несимметрии неравностороннего треугольника. Но если Вы настаиваете, подумаю над точным доказательством.

TOTAL писал(а):

e2e4 писал(а):

2. Так как расстояние AM=BN=CP выбирается произвольно

Расстояние не выбирается произвольно.

Именно что произвольно. Еще раз цитирую условие:

ins- писал(а):

It is given triangle ABC with points M, N, P on its sides (internally). U, V, W are intersection points of AN and CM, BP and AN, CM and BP. Triangle UVW is equaliteral. If AM=BN=CP is it true that ABC is equaliteral?

Задаемся некоторым расстоянием AM=BN=CP, откладываем точки на сторонах исходного треугольника, строим отрезки AN, CM, BP, видим что получился равносторонний треугольник на пересечении и задаемся вопросом - а был ли исходный треугольник равносторонним?
Я понимаю, что немного изменил ход событий - у автора сначала задается равносторонний треугольник на пересечении, а потом говорится, что отрезки AM,BN,CP - равны. Но это по-моему эквивалентно и сути не менят. Поправьте, если я не прав, только объясните, в чем именно.

Добавлено спустя 4 минуты 48 секунд:

ins- писал(а):

TOTAL, may you try to solve this problem you had brilliant ideas for my first problem. You said it is an easy problem but long time no one had solved it.

I also think that this is a simple problem, and an intellegent schoolar from 7-8 class can solve it, even if my proof is not right .

[ins-]

e2e4, please, don't underestimate this problem. You may be right but even some proffesors failed with solving.

I also don't think your lemma is true. Try the following:

1. Choose one equaliteral triangle UVW.
2. Extend UV, VW, WU rays to the points A, B, C.
3. Extend UV, VW, WU to the meeting points M, N, P with the sides of ABC.

I think there are infinitely many triangles and you cannot warrant the rotation angles are all equals.

You may say - the problem is easy - when you solve it with no difficulties in short time. And more, please, don't forgot - a problem easy for you may be very difficult for some other man. People's ways of thinking are very different.