2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Проблема Штейнгауза и парабола
Сообщение16.04.2018, 18:13 
Заслуженный участник


17/09/10
1829
На плоскости с декартовыми координатами $x,y$ заданы единичный квадрат с вершинами $(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)$ и парабола $y=x^2$.
Докажите, что на этой параболе не найдется точки, все четыре расстояния от которой до вершин единичного квадрата - рациональные числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема Штейнгауза и парабола
Сообщение24.04.2018, 23:48 
Заслуженный участник


17/09/10
1829
В дополнение.
Докажите также, что на указанной параболе существуют только две точки, три расстояния от каждой из которых до вершин единичного квадрата - рациональные числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема Штейнгауза и парабола
Сообщение29.04.2018, 08:54 


21/11/12
777
Санкт-Петербург
Предположим точка $x$ существует. Четыре воображаемых отрезка делят квадрат на четыре треугольника с рациональными сторонами. Площади треугольников выражаются в радикалах и могут дать в сумме единицу только, если под радикалами рациональные квадраты, т.е. треугольники героновы. Значит координаты точки $x$ тоже рациональны (видимо это и подразумевалось). Диагональ квадрата длиной $\sqrt{2}$ делит его на два треугольника площадью $\frac{1}{2}$. Площадь треугольника, образованного диагональю и парой воображаемых отрезков ($\sqrt{2},x_1,x_3$), также рациональна ($s_{1,2}+s_{2,3}-\frac{1}{2}$). Для такого треугольника имеется общее 3-х параметрическое решение: $$x_{1,3}=\dfrac{a^2+2}{4a}\pm \dfrac{((b-1)^2-2)((c-1)^2-2)}{((b+1)(c+1)-2)^2+((b-1)(c-1)+2)^2}$$ Хотя, отрезки тут не обязательно укладываются в квадрат, наверное это касается более общей задачи. Можно ведь взять пару диагоналей за оси координат, и рассматривать всё под углом 45 градусов. Это пока безотносительно к параболе, просто интересная ситуация сама по себе. Отрезки $x_{2,4}$ должны иметь подобное выражение относительно другой диагонали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема Штейнгауза и парабола
Сообщение29.04.2018, 19:49 
Заслуженный участник


17/09/10
1829
Всё это интересно, и важно, что координаты точки рациональны, осталось только дать решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема Штейнгауза и парабола
Сообщение29.04.2018, 21:46 


21/11/12
777
Санкт-Петербург
Это да (:

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема Штейнгауза и парабола
Сообщение04.05.2018, 19:45 
Заслуженный участник


17/09/10
1829
Имеем систему 4 уравнений $x^2+y^2=a^2, (x-1)^2+y^2=b^2, x^2+(y-1)^2=c^2, (x-1)^2+(y-1)^2=d^2$, где $a,b,c,d$ - расстояния от точки плоскости с координатами $x,y$ до вершин единичного квадрата $(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)$. Из неё видно, что если среди $a,b,c,d$ не менее 3 рациональных чисел, то $x,y$ рациональны.
Подставляем в уравнения $y=x^2$.
Теперь первое утверждение следует из того, что третье уравнение $x^4-x^2+1=c^2$ в рациональных числах имеет решение только при $x=0,\pm{1}$.
А учитывая то, что первое и четвертое уравнения сводятся к системе $x^2+1=v^2, (x+1)^2+1=w^2$, которая не имеет решений в рациональных числах, получаем и второе утверждение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group