Исследовать функцию на непрерывность

[ioleg19029700]

Нужно исследовать функцию

$$F(y)=\int\limits_0^{+\infty}ye^{-(x-y)^4}dx,\, y>0$$

Запишем множество: $D = [0;+\infty) \times (0;+\infty)$
Но давайте рассмотрим ${\overline D} = [0;+\infty) \times [\delta;+\infty),\,\delta > 0$
Подынтегральная функция очевидно непрерывна на $\overline D$. Тогда остаётся доказать равномерную сходимость интеграла на $\overline D$ $\forall \delta > 0$. Таким образом получим, что $F(y)$ непрерывная функция на $\overline D$. В силу произвольности $\delta$ и того, что непрерывность это свойство локальное получим непрерывность на $D$.
Теперь нужно подобрать мажоранту для подынтегральной функции, что у меня не выходит. Я пробовал считать производную, но это ничего не дало.
Еще вариант который я попробовал, это представить интеграл в виде

$$y\cdot\int\limits_0^{+\infty}e^{-(x-y)^4}dx$$

и сделать замену $x-y = z$. Тогда получим

$$F(y) = y\cdot\int\limits_{-y}^{+\infty}e^{-z^4}dz$$

Интеграл очевидно сходится равномерно, так как теперь подынтегральная функция не содержит в себе параметра, и $F(y)$-это произвдение двух непрерывных функций. Но это решение кажется мне каким-то искусственным. Я не знаю, нужно ли сделать какую-то оговорку теперь по поводу нижнего предела интегрирования?

[thething]

Ну, может написать $\int\limits_{-y}^{+\infty}=\int\limits_{-y}^{0}+\int\limits_{0}^{+\infty}$ и сослаться на непрерывность интеграла с переменным нижним пределом

Ну и, видимо, $y$ при этом должен пробегать всё-таки какой-то отрезок $[\delta_1,\delta_2]$

[alcoholist]

ioleg19029700 в сообщении #1309801 писал(а):

Интеграл очевидно сходится равномерно

Какая еще равномерная сходимость интеграла?
Просто: определенный интеграл является абсолютно непрерывной функцией (нижнего) предела

-- Чт май 03, 2018 18:27:57 --

или в лоб

$$ \Bigl|F(y+\delta)-F(y)\Bigr|<|\delta|\left(ye^{-y^2}+\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^4}dt\right) $$