Сколько лет Серёже?

[Ktina]

Если подряд написать возраст Маши, а потом возраст Серёжи, получится четырёхзначный точный квадрат. Умный Серёжа обнаружил, что через 13 лет тоже будет так. Сколько лет Серёже? (Közepiskolai Matematikai Lapok, 2006 No 11, K.101)

По всей видимости, подразумевается, что Маше 19 лет, а Серёже - 36.
Но ведь это не единственное решение! Скажем, Маше может быть 2 года, а Серёже - 116 (истории известны примеры, когда люди доживали до столь почтенного возраста).

Сколько там вообще решений и как все их найти? Неужели снова тупой перебор?

[rockclimber]

Ktina в сообщении #1309670 писал(а):

Неужели снова тупой перебор?

Там всего-то 100 чуть меньше 70 квадратов. Не так много. Ну или переберите по-умному
Например: квадраты могут оканчиваться на 1, 4, 5, 6, 9. Значит, возраст Сережи сейчас оканчивается на 1 или на 6.
Возраст увеличивается на 13 лет, следовательно, первые цифры квадратов не будут отличаться больше, чем на 2. Можно наверно еще что-то придумать.
А, Маше меньше 87 лет.

Ktina в сообщении #1309670 писал(а):

Скажем, Маше может быть 2 года, а Серёже - 116

Ktina в сообщении #1309670 писал(а):

получится четырёхзначный точный квадрат. Умный Серёжа обнаружил, что через 13 лет тоже будет так.

15129 не является четырёхзначным точным квадратом.

[Ktina]

rockclimber в сообщении #1309675 писал(а):

А, Маше меньше 87 лет.

Почему? Маши столько не живут?

[rockclimber]

Потому что через 13 лет ей будет 100, а Сереже - не меньше 13-и, следовательно, если записать их подряд, получится 10013. Выход за пределы четырех знаков.

[Ktina]

rockclimber

Ktina в сообщении #1309670 писал(а):

Умный Серёжа обнаружил, что через 13 лет тоже будет так.

Мне показалось, что под "тоже так" подразумевается квадрат.

[rockclimber]

Ну не знаю.
Условие: "Если подряд написать возраст Маши, а потом возраст Серёжи, получится четырёхзначный точный квадрат. Умный Серёжа обнаружил, что через 13 лет тоже будет так."
Я так понимаю, что

$\text{будет так} = \text{Если подряд написать возраст Маши, а потом возраст Серёжи, получится четырёхзначный точный квадрат}$

И мне непонятно, почему это условие надо понимать как-то иначе.

P. S. Ой, а как формулу поправить?

[Ktina]

rockclimber
Вы правы, но задача окажется гораздо интереснее, если допустить, что может получиться не только 4-значный квадрат.

[DimaM]

(Оффтоп)

Скоро десять лет Сереже -
Диме нет еще шести.
Дима все никак не может
До Сережи дорасти.

[gevaraweb]

Ktina в сообщении #1309670 писал(а):

Скажем, Маше может быть 2 года, а Серёже - 116

А если Сережу звали бы Мафусаил, то есть еще одно решение - что Маше 1 год, а Серёже - 936....

[Dendr]

Проигнорируем временно, чтобы не отвлекаться, условие четырехзначности получаемого квадрата, будем следить только за тем, чтобы возраста Сережи и Маши были осмысленны (положительны и не чересчур зашкаливают за 100).
Тогда получается четыре интервала для Сережи: до 10 лет, 10-86, 87-99, 100 и больше.
Во всех случаях запишутся уравнения:
$10x+y=N^2 $
$100x+y+1313=M^2$

$100x+y=N^2 $
$100x+y+1313=M^2$

$100x+y=N^2 $
$1000x+y+13013=M^2$

$1000x+y=N^2 $
$1000x+y+13013=M^2$

Случаи 2 и 4 решаются просто: $M^2-N^2=(M-N)(M+N)=1313$ либо $13013$. Тут придется совершить перебор, но недолгий: просто выбираем подходящие разложения на два множителя. Годятся только $N^2$, равные 1936 и 2116 (соответственно, пары возрастов 19-36 и 2-116). Также подходят пары 4303-36, 343-396, 857-476, но они отметаются из здравого смысла.

В других случаях надо заметить, что для выполнения условий требуется, чтобы возраст Сережи (y) оканчивался на цифры (0-1-4-5-6-9) и сейчас, и спустя 13 лет. То есть сейчас он оканчивается на 1 или на 6. Ответы 36 и 116 этому условию удовлетворяют, конечно.
Значит, нам надо рассмотреть варианты, когда ему (1..9) либо 1, либо 6, (87..99) либо 91, либо 96 лет. Странно ожидать от годовалого таких выводов, но мало ли, что за вундеркинд?

Избавляясь от x (возраста Маши) при каждом y (возрасте Сережи), получаем следующее общее выражение: $M^2=10 N^2+K$, где K равно одному из чисел 1259, 1304, 12149 и 14194. Найдя для каждого K (если сможем) подходящее N, мы решим задачу. Дело за малым...

-- 03.05.2018, 12:15 --

Dendr в сообщении #1309712 писал(а):

Избавляясь от x (возраста Маши) при каждом y (возрасте Сережи), получаем.

Уточняю сам себя: тут и избавляться ни от чего не надо даже, просто посмотреть внимательно на оконцовки чисел.

Сереже 1 годик. Значит, надо найти два полных квадрата вида ..1 и ..14.
6 лет: ..6 и ..19.
91 год: ..91 и ..104.
96 лет: ..96 и ..109.

Сразу можно отбросить первые три случая, просто рассмотрев таблицу квадратов чисел от 1 до 100. Последний тоже невыполним, можно просто рассмотреть все числа вида $50n\pm3$ (чтобы оканчивалось на 09). Так что других решений, кроме как из вышеприведенных, нет. Возможно расширение на бессмертных Сережу и Машу, но уже сйечас можно предположить, что решения и в этом случае получатся только из факторизации чисел вида 130..013.

[Ktina]

Dendr
Круто! Спасибо большое-пребольшое!