уравнение касательной плоскости

[OlgaD]

Задача. Найти касательные плоскости поверхности $y=x^4-2xz^3,$ ортогональные вектору $a(1;2;1).$

Пробую решать следующим образом: уравнение касательной плоскости в некоторой точке $M_0(x_0,y_0,z_0)$ имеет вид $y-y_0=f'_x(x_0,z_0)(x-x_0)+f'_z(x_0,z_0)(z-z_0).$ Для данной поверхности это уравнение принимает вид:

$$y-y_0=(4x_0^3-2z_0^3)(x-x_0)+(-6x_0z_0^2)(z-z_0).$$

Нормаль к этой плоскости $(4x_0^3-2z_0^3;-1;-6x_0z_0^2)$ коллинеарна вектору $a,$ т.е. их координаты пропорциональны. Другими словами,

$$\frac{4x_0^3-2z_0^3}{1}=\frac{-1}{2}=\frac{-6x_0z_0^2}{1}.$$

И вот здесь у меня тупик, так как эта система уравнений имеет какое-то дикое решение.

Может я рассуждаю неправильно?

[alcoholist]

OlgaD в сообщении #1309659 писал(а):

Может я рассуждаю неправильно?

Всё правильно. Условие такое кривое. Можно сказать с уверенностью, что такая плоскость только одна.

[OlgaD]

А решения-то нет! Можно выкрутиться по-другому? А почему только одна?

[alcoholist]

OlgaD в сообщении #1309680 писал(а):

А решения-то нет

То ли лыжи не едут... Уравнение

$$ 4z_0^3=1+8x_0^3=1+\frac{8}{12^3z_0^6} $$

имеет единственное решение $z_0\approx 0.64$. Дальше

$$ x_0=\frac{1}{12z_0^2}\quad\mbox{и}\quad y_0=x_0^4-2x_0z_0^3. $$

[OlgaD]

Приближенное к сожалению не надо. Значит, тупик

[slavav]

Есть точное решение. Введите $k: x_0=kz_0$. Тогда можно получить кубическое уравнение относительно $k$. Оно имеет единственный корень. Для корней кубических уравнений есть формула.

[alcoholist]

slavav в сообщении #1309695 писал(а):

Для корней кубических уравнений есть формула

Не думаю, что в задаче о касательной плоскости предполагается решение кубического уравнения. Хороших корней там нет.

[OlgaD]

Спасибо. Попробую разными способами. Хотя не думаю, что предполагалось приблизительное решение.