Истинность и ложность в пустой Вселенной

[Qlin]

bayah, на пустых моделях выполняются очень странные логические законы, которые не согласуются с обычной предикатной логикой. $(\forall x) (P(x) \wedge \lnot P(x))$ — это как раз такой случай. Здесь и через $P(x)$, и через $\lnot P(x)$ обозначается по сути одно и то же свойство.

[arseniiv]

Кстати, а чего «моделях», пустая интерпретация (и не важно, чья она могла бы быть модель) фактически всего одна. Отличия могут быть только из-за присутствия в сигнатуре пропозициональных констант, но при типичном ограничении местности предикатных символов, позволительных в ней, они как раз запрещены (и понятно зачем: какой толк от висячего истинностного значения, никак не связанного с элементами носителя), хотя для унификации с пропозициональным языком запрещать такие константки как раз не стоит.

[george66]

arseniiv в сообщении #1309547 писал(а):

Кстати, а чего «моделях», пустая интерпретация (и не важно, чья она могла бы быть модель) фактически всего одна. Отличия могут быть только из-за присутствия в сигнатуре пропозициональных констант, но при типичном ограничении местности предикатных символов, позволительных в ней, они как раз запрещены (и понятно зачем: какой толк от висячего истинностного значения, никак не связанного с элементами носителя), хотя для унификации с пропозициональным языком запрещать такие константки как раз не стоит.

Представьте простейшую шкалу Крипке из двух моментов времени. Модели Крипке с этой шкалой могут быть пустыми в первый момент времени и непустыми во второй. Таких моделей много. Формула
$\exists x (x=x)$
на них не истинна, а принимает некоторое промежуточное значение (формула истинна, если она истинна во все моменты времени).

[Qlin]

arseniiv в сообщении #1309547 писал(а):

чья она могла бы быть модель

Но модель всегда чья-то. Иначе это просто структура.

arseniiv в сообщении #1309547 писал(а):

фактически всего одна.

Не, ну как же. Либо есть символ операции, либо символа нет. В первом случае пустую операцию придется впихнуть в модель. Ещё можно рассмотреть $Q$ такое, что $(\forall x,y) (Q(x,y) \wedge \lnot Q(x,y))$. Теперь у нас два разных пустых отношения, они отличаются арностью.

[arseniiv]

george66 в сообщении #1309553 писал(а):

Представьте простейшую шкалу Крипке из двух моментов времени. Модели Крипке с этой шкалой могут быть пустыми в первый момент времени и непустыми во второй. Таких моделей много. Формула
$\exists x (x=x)$
на них не истинна, а принимает некоторое промежуточное значение (формула истинна, если она истинна во все моменты времени).

Ну, я подумал, Qlin про классику.

Qlin в сообщении #1309560 писал(а):

Но модель всегда чья-то. Иначе это просто структура.

Да, интерпретация — это ровно то же самое, что и структура, просто она зовётся иначе, когда интересна связь с языком и собственно интерпретация.

Qlin в сообщении #1309560 писал(а):

Не, ну как же. Либо есть символ операции, либо символа нет.

Но если носитель пуст, любая операция и любое ненульместное отношение выбираются однозначно. Потому все такие интерпретации — расширения/усечения друг друга. Формально разные, по существу разницы никакой.

Qlin в сообщении #1309560 писал(а):

Ещё можно рассмотреть $Q$ такое, что $(\forall x,y) (Q(x,y) \wedge \lnot Q(x,y))$. Теперь у нас два разных пустых отношения, они отличаются арностью.

Где? Рассмотрение разных формул некоторой сигнатуры никак её не меняет.

[Qlin]

arseniiv, что-то я по-прежнему не понял, как у вас получается одна единственная интерпретация, если у них разные области определения. Либо символ операции есть, и он куда-то интерпретируется, либо этого символа нет.

arseniiv в сообщении #1309577 писал(а):

Где? Рассмотрение разных формул некоторой сигнатуры никак её не меняет.

Кого не меняет? Сигнатура — это то, что подается на вход. Мы можем рассмотреть сигнатуру, содержащую символ $Q$ двухместного отношения, а можем взять какую-то другую.

[arseniiv]

Qlin в сообщении #1309602 писал(а):

что-то я по-прежнему не понял, как у вас получается одна единственная интерпретация, если у них разные области определения

Сигнатуры? (А то я чуть на носитель не подумал.) Ну разные, и что. Выбираем любую и получаем ровно одну возможную интерпретацию. Ну ладно, с вами это терминологический спор получается: ну не нравится вам идея того, что это одна и та же интерпретация — и ладно.

Qlin в сообщении #1309602 писал(а):

Сигнатура — это то, что подается на вход.

В некотором смысле что угодно можно подавать на вход куда-нибудь. (Это насчёт понятности языка. )

Qlin в сообщении #1309602 писал(а):

Мы можем рассмотреть сигнатуру, содержащую символ $Q$ двухместного отношения, а можем взять какую-то другую.

Да, можем, но у вас как-то в одном предложении связана формула с $Q$ и слова о том, что получатся два пустых отношения. Ну, думаю я, это должно значить, что в сигнатуру добавили ещё один символ. А потом думаю, чему он должен соответствовать и понимаю, что не имею ни малейшего представления: вы не объяснили.

[Rock`n`Rolla]

Кроме прочего, перевод очень странный, тут говорится не про некую вселенную, а про универсум рассуждения.