Исследуйте сходимость несобственного интеграла второго рода

[Mikhail_K]

_DEADMAN, Вас спрашивают вот о чём:

Lia в сообщении #1309479 писал(а):

приведите признак сходимости, которым Вы собираетесь пользоваться. Полностью процитируйте.

Теорему то есть из учебника сюда напишите.

[_DEADMAN]

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ положительны на отрезке [a, b]. Тогда если существует конечный предел $\lim\limits_{x\to с}^{}\frac{f(x)}{g(x)}=L>0$, то несобственные интегралы от $f(x)$ и $g(x)$ сходятся или расходятся одновременно.

[Lia]

Отлично. Вот и ответьте на свой собственный вопрос: важна ли сходимость интеграла от $g$ или нет, чтобы продолжать этой теоремой продуктивно пользоваться.

[_DEADMAN]

Ну конечно важна, я же про это и говорю, вернее, спрашиваю. Можно ли сразу утверждать, что интеграл от $g(x)=\frac{(x-4)^\frac{1}{5}}{\sqrt{x}-2}$ сходится или его нужно интегрировать, чтобы проверить?

[thething]

Интегрировать, конечно, можно, но лучше все-таки исследовать на сходимость

[Lia]

_DEADMAN
Вы говорите не это. Цитирую.

_DEADMAN в сообщении #1309476 писал(а):

Но в любом случае чтобы использовать какой-то признак, нужно быть уверенным, что и интеграл от $g(x)$ [неважно какой - прим. Lia] сходится. Или это можно утверждать наверняка?

Для каких-то признаков - нужно. Для каких-то - не нужно. Что нужно для этого признака и что он дает в каждом случае - смотрите и анализируйте сами.

Отдельный вопрос - вопрос о сходимости интеграла от $g$. Нет, интегрировать, как и прежде, противопоказано. Надо доводить до ума, делать из интеграла эталонные, про которые мы сразу и точно можем сказать (должны мочь, по крайней мере), как они себя ведут.

Поэтому лучше не останавливаться было на достигнутом, а продолжить цепочку эквивалентностей до максимально простого вида. Вам подсказывали, впрочем. Я повторяюсь.

Ну ничего, продолжите.

[_DEADMAN]

Т.е. по аналогии сравнить с эквивалентной, как для синуса? А как тут подобрать эквивалентную функцию? x вроде сам по себе, ничему не эквивалентен или здесь уже можно сравнивать с $g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}-2}$?

[Lia]

Точно так же. Замены- пределы - etc.

[thething]

Учтите при этом, что, если $\lim\limits_{x\to a}^{}f(x)=A\ne 0,\infty$, то можно написать $f(x)\sim A$ при $x\to a$

[_DEADMAN]

Я вот этого не понимаю. Вот у меня есть моя $g(x)=\frac{(x-4)^\frac{1}{5}}{\sqrt{x}-2}$, как к ней подобрать эквивалентную. Есть алгоритм какой-то или теорема? Приведите, пожалуйста.

[thething]

Я Вам уже подсказывал на этот счет, и, как заметили Выше, получается диктант.. Доводите, пожалуйста сами

[_DEADMAN]

thething в сообщении #1309461 писал(а):

Или Вас смущает, что тут нет явного предела? Ну так вспомните определение эквивалентности $f\sim g$ при $x\to a$

Я так понимаю вы это имеете в виду? Хорошо, тогда $f(x)$ и $g(x)$ будут эквиваленты если $\lim\limits_{x\to c}^{}\frac{f(x)}{g(x)}=1$ (x стремиться к c, редактор формул что-то барахлит). И просто методом научного тыка подбирать функции получается?

[Mikhail_K]

_DEADMAN
Итак, Вас сейчас интересует интеграл $\int\limits_4^5\frac{(x-4)^{1/5}}{\sqrt{x}-2}dx$.

Вот эти множители в числителе и знаменателе: $x-4$ и $\sqrt{x}-2$ - наверное как-то связаны между собой. Наверное не зря они оба обращаются в нуль при $x=4$. Наверное можно один из них выразить через другой, если формулу нужную вспомнить - и что-то упростится. И, кстати говоря, какой лучше через какой?
А после этого можно будет использовать вот что:

thething в сообщении #1309511 писал(а):

Учтите при этом, что, если $\lim\limits_{x\to a}^{}f(x)=A\ne 0,\infty$, то можно написать $f(x)\sim A$ при $x\to a$

и от какого-то множителя избавиться.

Только не нужно вот так фантазировать:

_DEADMAN в сообщении #1309505 писал(а):

или здесь уже можно сравнивать с $g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}-2}$?

Если Вы что-то с чем-то хотите "сравнивать", то должны знать, на какие теоремы и признаки собираетесь при этом опираться.

[ewert]

_DEADMAN в сообщении #1309505 писал(а):

Т.е. по аналогии сравнить с эквивалентной, как для синуса?

Вы не с того конца подходите, пытаясь угадать готовые эквивалентные. А надо постепенно их заменять, например:

$$\frac{x^2\sin(x-4)^{\frac15}}{\sqrt{x}-2}\sim\frac{x^2(x-4)^{\frac15}}{\sqrt{x}-2}\sim\frac{16(x-4)^{\frac15}}{\sqrt{x}-2}$$

.
После этого получится одно из трёх: или эталон, про которого всё известно, или легко берущийся интеграл, или -- если ни то, ни другое, то надо огрублять подынтегральную функцию до хорошей, оценивая её сверху или снизу и прибегая уже к первому признаку сравнения.

[_DEADMAN]

Есть, понял!
$\frac{(x-4)^\frac{1}{5}}{\sqrt{x}-2}=\frac{(x-4)^\frac{1}{5}(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}=\frac{\sqrt{x}+2}{(x-4)^\frac{4}{5}}$
При икс стремящемся к 4 $\sqrt{x}+2$ эквивалентна 4. Следовательно функция примет вид $\frac{4}{(x-4)^\frac{4}{5}}$, а такой интеграл сходится.