мат. анализ, дифференциал отображения

[philurame]

Помогите пожалуйста с задачей: множество $P_n$ многочленов одной переменной степени $n$ со старшим коэффициентом 1. Отождествим $P_n$ с $R^n$, сопоставляя многочлену $x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0$ точку
$(a_{n-1}, \dots, a_0)$.
а) Найти дифференциал отображения $P_n \times P_m \to P_{n+m}$, заданного как $(P, Q) \to P\cdot Q$
б) Найти матрицу Якоби для этого отображения.

(только начал проходить дифференциалы отображений);
я делал так:
а) пусть это отображение $f(n,m)$, где $n=(n_{n-1},\dots,n_0)$ и $m=(m_{m-1},\dots,m_0)$ , тогда частные производные: $\frac{\partial f(n,m)}{\partial n} = \lim _{h_n\rightarrow 0} \frac{f(n+h_n,m)-f(n,m)}{h_n} = \lim _{h_n\rightarrow 0} \frac{f(h_n,m)}{h_n} = x^m+ \dots+b_0}$ и $\frac{\partial f(n,m)}{\partial m} =x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0}$, тогда $df(n,m)h = (x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0)h_n+(x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \dots+b_0)h_m$ (($h_n,h_m$)-вектор $h$ в $P_n \times P_m$) ??
б) матрица Якоби - матрица частных производных $\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1(n,m)}{\partial n} &\frac{\partial f_1(n,m)}{\partial m}\\ \frac{\partial f_2(n,m)}{\partial n} & \frac{\partial f_2(n,m)}{\partial m} \end{pmatrix}$, но как найти $f_1(n,m)$, $f_2(n,m)$?

[thething]

Как я понимаю, имеется ввиду просто отображение $f:(a_{n-1},...,a_0,b_{m-1},...,b_0)\to $коэффициенты произведения этих многочленов. Тогда матрица Якоби будет не два-на-два, а.. сколько там коэффициентов в произведении -- это будет число строк, а сколько всего переменных -- это число столбцов. Ну и частные производные там ищутся элементарно.

Кстати, дифференциал может стОит посчитать после матрицы Якоби?

[demolishka]

Давайте остановимся на случае $m=n=2$. Ваше отображение в координатах действует как $(a_{1},a_{0},b_{1},b_{0}) \mapsto (c_{3},c_{2},c_{1},c_{0})$. Чему равны координатные функции $c_{i}$? Как выглядит матрица Якоби?

[philurame]

demolishka спасибо, понял

$$\begin{pmatrix} 1& 0&0&\dots&0&1&0&\dots& 0\\ b_{m-1}& 1&0&\dots&0 &a_{n-1}&1&\dots&0\\ b_{m-2}&b_{m-1} &1&\dots&0&a_{n-2}&a_{n-1}&\dots&0\\ ... \end{pmatrix}$$