Халмош 17.5, аннуляторы

[xz121]

Читаю "Конечномерные векторные пространства" Халмоша, делаю упражнение 5 из параграфа 17.

$\left\lbrace y_1\dots y_m \right\rbrace$ - линейные функционалы на $n$-мерном векторном пространстве $V$, $m < n$.
Доказать, что $\exists x \ne 0 \in V : \forall y_i \in \left\lbrace y_1\dots y_m \right\rbrace [x, y_i] = 0$

Просьба проверить, что я нигде не сжульничал.

Итак, обозначим за $Y$ линейную оболочку функционалов. Она - подпространство $V^*$, и, очевидно $dim(Y) \leqslant m$
Посмотрим на аннулятор $Y^0$, по теореме из предыдущего параграфа $dim(Y^0) = n - dim(Y) \geqslant n - m > 0$, а значит в нем есть ненулевой $z$, и по определению аннулятора $\forall y \in Y z(y) = 0$, а значит $\forall y_i \in \left\lbrace y_1\dots y_m \right\rbrace z(y_i) = 0$
Возьмем прообраз $z$ из естественного изоморфизма, это будет ненулевой вектор $x$ \in V, такой что $\forall y_i \in \left\lbrace y_1\dots y_m \right\rbrace [x, y_i] = 0$. Доказано.

Все ли ок?

Еще в упражнении просят проинтерпретировать результат в приложении к решению линейных уравнений.
Если в однородной системе уравнений меньше, чем неизвестных, она всегда имеет ненулевое решение - так?

[vpb]

Всё в порядке.

[xz121]

vpb в сообщении #1308986 писал(а):

Всё в порядке.

Спасибо!

[xz121]

Наверное, не стоит создавать новую тему, если у меня вопрос по следующей в разделе похожей задаче.
Снова есть $m$ функционалов на $n$-мерном пространстве, $m< n$.

Вопрос, каким условиям должны подчинятся скаляры $\left\lbrace a_1\dots a_m \right\rbrace$, чтобы существовал $ x \in V : \forall y_i \in \left\lbrace y_1\dots y_m \right\rbrace [x, y_i] = a_i$

У меня только такая идея: eсли $\left\lbrace y_1\dots y_m \right\rbrace$ - линейно независимы, то они образуют базис $Y$, значит $\exists! z \in Y^*$ : \forall y_i \in \left\lbrace y_1\dots y_m \right\rbrace z(y_i) = a_i (во всем пространстве $V^*^*$ он не единственный, но нам важно только существование). Дальше естественный изоморфизм, бла-бла-бла, нашли нужный $x$.

Теперь, если функционалы могут быть линейно-зависимы. Выберем среди них базис их линейной оболочки, пусть это, не ограничивая общности, первые $k$ функционалов.
Для первых $k$ пар $(y_i, a_i)$ существование нужного $x$ доказано в предыдущем абзаце.
Если он удовлетворяет остальным парам, то $\forall i > k$ должно выполняться $a_i = [x, y_i]$
Любой $y_i$, при $i > k$ раскладывается в линейную комбинацию базисных функционалов с коэффициентами $b_j$, значит, при $i > k$ имеем:
$a_i = [x, y_i] = [x, \sum\limits_{j = 1}^{k}b_jy_j] = \sum\limits_{j = 1}^{k}b_j[x, y_j] = \sum\limits_{j = 1}^{k}b_ja_j$
Получили необходимое условие на $a_i$, переставив $a_i$ в цепочке равенств в конец, получим, что оно и достаточное.
Итого, условие на скаляры:
$ i > k \Rightarrow a_i = \sum\limits_{j = 1}^{k}b_ja_j$, в предположении, что первые $k$ функционалов - базисные (если нет - перемешаем их).

Это то, что вероятно подразумевалось в задаче?

P.S. Сейчас уже понял, что нигде не использовал $m < n$. Видимо, что-то не так.

[vpb]

Да условие $m<n$, собственно, ни при чем. Система уравнений $[x,y_i]=a_i$ разрешима, если для любой линейной зависимости между $y_i$ точно такая же зависимость, с теми же коэффициентами, имеет место и между $a_i$. Что у Вас по существу и написано. Этот факт называется "теорема Кронекера-Капелли" ("система линейных уравнений разрешима тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы", в классической формулировке).