формальная аналитическая комбинаторика

[beroal]

(Оффтоп)

Извините за неясное название темы, по длине не влезает.

Ищу учебник, где описаны формальные степенные ряды с формальными определениями и полными доказательствами. Например, определение формального степенного ряда как «бесконечного формального выражения» без дальнейших объяснений я не считаю формальным. Нужно объяснить, что такое формальное выражение, как оно может быть бесконечным, и что на самом деле надо брать классы эквивалентности выражений вместо выражений. Из-за того, что автор даёт невнятное определение, он делает пробелы в доказательствах, и дальше это нарастает, как снежный ком. Кстати, я нашёл целую одну тему, но там всё фрагментарно. Не хочется самостоятельно строить теорию. Мне подойдёт учебник или более-менее полный конспект лекций на английском, русском или украинском языке.

[Otta]

А что там, собственно, может особо нуждаться в доказательстве? Обычно формальный ряд воспринимают как чисто формальную запись степенного, не задаваясь вопросами, сходится он, не сходится, и вообще не предполагая отождествлять переменную с числовым значением.

Вводятся естественным образом операции сложения и умножения таких объектов, легко показать, что это кольцо... ну а далее по мере надобности.

Трудно говорить, не зная контекста, который вызвал у Вас затруднения. Если Вас устроит, довольно много в английской Вики написано https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series, посмотрите.

Вряд ли где-то найдется больше, да и нечего вроде там больше сказать по поводу основных понятий, которые могут помочь заполнять пробелы.

[Gordon123]

Может в "Алгебре (2 том)" Бурбаки что-нибудь есть?

[Brukvalub]

Формальные степенные ряды являются основным инструментом перечислительной комбинаторики (как аппарат для производящих функций), поэтому они рассмотрены во всех достаточно продвинутых учебниках комбинаторики, например, Р. Стенли Перечислительная комбинаторика т.1, С.К. Ландо Введение в дискретную математику. Совсем уж формальный подход есть в начале книги Я. Гульден, Д. Джексон Перечислительная комбинаторика.

[beroal]

Otta в сообщении #1308623 писал(а):

А что там, собственно, может особо нуждаться в доказательстве? Обычно формальный ряд воспринимают как чисто формальную запись степенного, не задаваясь вопросами, сходится он, не сходится, и вообще не предполагая отождествлять переменную с числовым значением.

Вводятся естественным образом операции сложения и умножения таких объектов, легко показать, что это кольцо... ну а далее по мере надобности.

Трудно говорить, не зная контекста, который вызвал у Вас затруднения. Если Вас устроит, довольно много в английской Вики написано https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series , посмотрите.

Ну, вы тоже пытаетесь рассказать что-то фрагментарно. Википедия = фрагментарность.

[Red_Herring]

beroal в сообщении #1308655 писал(а):

Ну, вы тоже пытаетесь рассказать что-то фрагментарно.

Н. Гумилёв писал(а):

Не надоедаю многозначительными намеками
На содержимое выеденного яйца.

по которому вы, очевидно, крупный специалист.

[vpb]

beroal
Попытаюсь сказать примерно то же, что и коллеги, другими словами. Вы хотите узнать "всеобъемлющую и строгую теорию формальных степенных рядов". Так нет такого. Это типа "общей теории многочленов". Один человек интересуется свойствами делимости многочленов, другой --- тем, какая на кольце многочленов может быть задана топология, третий --- свойствами функции, которую данный многочлен описывает. Четвертому надо просто экзамен сдать, а пятому всякие многочлены вообще до фени. Вообще, как человек смотрит на тот или иной объект, под каким углом, определяется его потребностями по отношению к данному объекту. Если приложениями к перечислительной комбинаторике интересуетесь (я сам не специалист), так Вам коллега Brukvalub выше дал ссылки. При обучении же обычно понятие формальных степенных рядов появляется прежде всего в курсе алгебры. Вот как-то так.

[eugensk]

beroal
Может быть, вам нужна эта книга
https://www.mccme.ru/free-books/lando/lando-genfunc.pdf Ландо С. К. Лекции о производящих функциях,
- для охвата контекста, потом что-нибудь из библиографии.

[Otta]

beroal

vpb в сообщении #1308698 писал(а):

Четвертому надо просто экзамен сдать, а пятому всякие многочлены вообще до фени.

... а пятый - ровно настолько, насколько формальная классификация ростков облегчает аналитическую или гладкую или способствует ей. Много нам не надо, да, и потому непонятно, что ж там непонятного. С моей точки зрения - технический объект, можно и формально определять, но работать легче не станет, станет тяжельше. Можно ведь и дальше пойти, запросить точное определение ряда вообще (тоже днем с огнем не найти, да и надо ли). В целях обеспечения полной невыносимости жизни.

Но ссылки есть, надеюсь, там все как надо, то есть очень подробно. Честное слово, очень интересно при оказии как-нибудь узнать, что принципиально нового привносит описание объекта из Ландо к моему фрагментарному :) пониманию. Специально читать пока нет необходимости. Но поделитесь, пожалуйста, при случае, как ознакомитесь.

[beroal]

vpb в сообщении #1308698 писал(а):

Вы хотите узнать "всеобъемлющую и строгую теорию формальных степенных рядов".

Про всеобъемлющую теорию я не писал. Мне достаточно строгой.

Otta в сообщении #1308701 писал(а):

С моей точки зрения - технический объект, можно и формально определять, но работать легче не станет, станет тяжельше. Можно ведь и дальше пойти, запросить точное определение ряда вообще (тоже днем с огнем не найти, да и надо ли). В целях обеспечения полной невыносимости жизни.

Конечно, зависит от человека. Мне точные определения облегчают жизнь.

Я, конечно, умею сам формализовывать, но просто переписать определение мало, потом придётся переписывать учебник… Я устал заносить чьи-то хвосты, и у меня нет на это времени.

eugensk в сообщении #1308699 писал(а):

Ландо С. К. Лекции о производящих функциях,
- для охвата контекста, потом что-нибудь из библиографии.

посмотрю

[arseniiv]

beroal в сообщении #1308878 писал(а):

но просто переписать определение мало, потом придётся переписывать учебник…

Почему обязательно?

[vpb]

beroal
Знаете, "строгость" --- это такой расплывчатый термин. Одни под этим одно понимают, другие другое. Вот как по Вашему, "строгое рассуждение" --- это (а) то, которое может быть проверено компьютером, или (б) субъективно ясное, без всякого тумана ? (По мне, это разные вещи).