Попарно различные числа по окружности (С. Берлов)

[Ktina]

При каких $n>50$ можно расставить по окружности $n$ попарно различных чисел таким образом, чтобы каждое число было либо больше всех 50 чисел, следующих за ним по часовой стрелке, либо меньше всех 50 чисел, следующих за ним по часовой стрелке?
(С. Берлов)

Думаю, что при $n\geqslant 100$ можно. Не знаю, как доказать, что при меньших $n$ нельзя.

При $n\ge 100$ ,берём $\lfloor\dfrac{n}{2}\rfloor$ самых больших чисел и расставляем их в порядке убывания, оставшиеся числа расставляем за ними в порядке возрастания. Скажем, для чисел от 1 до 10 это выглядело бы так: 10, 9, 8, 7, 6, 1, 2, 3, 4, 5, круг замкнулся.

А вот как доказать, что при $n<100$ подобное не получится?

[mihaild]

Повернем так, чтобы 1 стояла на 50м месте. Число, стоящее на 49м месте, больше 1, значит оно больше всех чисел, стоящих на местах 50-99. Аналогично, число, стоящее на 1м месте, больше чисел, стоящих на местах 2-50. Значит, 1е место отлично от всех мест 50-99, и $n \geqslant 100$.

[Ktina]

mihaild
Большое спасибо!