Уравнение в простых числах, областная олимпиада

[Ktina]

Решить уравнение

$$3(p^q+q^p)=n!$$

, где $p, q$ - простые, $n$ - натуральное.

Источник задачи:
http://matol.kz/olympiads/83
(задача №4)

---

Я попытаюсь решить, а вы мне, возможно, поможете. Вдруг у меня ошибка вкралась.

---


Случай 0:

Если $p=q=3$, решений, очевидно, нет.

Случай 1:

Если одно из двух простых чисел равно 3, а другое - нет, то левая часть уравнения делится на 3, но не делится на 9, а значит, $n<6$, далее следует совсем несложный перебор случаев (точнее, всего одного случая), решений тоже нет.

Случай 2:

Путь ни одно из двух простых чисел не равно 3, и пусть, WLOG, $p\le q$. Тогда левая часть уравнения больше, чем $p^p$, а значит, больше, чем $p!$, следовательно (поскольку она равна некоторому факториалу), должна делиться на $p$. Но это возможно только в случае, когда $p=q$ (так как по предположению ни одно из двух простых чисел не равно 3, которое стоит за скобками).

Случай 2.0:

Если $p=q=2$, получаем единственное решение: $p=q=2, n=4$

Случай 2.1:

Если $p=q$ и оба нечётны, то левая часть уравнения дарамдаш остаток 2 при делении на 4, откуда следует, что решений нет.

Итак, рассмотрев все возможные случаи, получаем единственное решение: $p=q=2, n=4$

---

Получилось долго и нудно, как вся моя жизнь.
Пожалуйста, помогите решить покороче и поумнее, а заодно проверьте ошибки в моём решении.
Зарангеш благодарю.

[Руст]

Все правильно. Я бы начал с малого p=2. Факториал, когда больше 1 нечетное, поэтому или оба равны 2 (решение) или оба больше 2.
Далее n! делится на малое простое р, отсюда p=q даже если p=3. Но в этом случае число слева не делится на 4, т.е n<=3.

[Ktina]

Руст
Большое спасибо!