Найти радиус сходимости

[Key27]

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(x+1)^n}{\sqrt{n+1}}\ln\left(\frac{3n-2}{3n+2}\right)$
$x_0=-1$
Каким способом здесь искать радиус сходимости?
На сколько я понимаю, формула Адамара-Коши и формула $R=\lim\limits_{n\to\infty}^{}\frac{a_n}{a_{n+1}}$ не подходят в данном случае. Они обе ни к чему не приводят.

[alcoholist]

Key27 в сообщении #1308513 писал(а):

формула $R=\lim\limits_{n\to\infty}^{}\frac{a_n}{a_{n+1}}$

приводит прямо! Ведь известна же вам эквивалентность $\ln(1+s)\sim s$ при малых $s$?

[thething]

Key27 в сообщении #1308513 писал(а):

Они обе ни к чему не приводят

Приводят, только правильно напишите, чему равно $a_n$ (с этим у Вас проблемы бывают, судя по соседним Вашим веткам)

[Key27]

Вроде бы
$a_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}}\ln \left( \frac{3n-2}{3n+2} \right)$

[thething]

Ага, ну и используйте теперь свою формулу и совет alcoholist

Учтите, что $\frac{3n-2}{3n+2}=1-\frac{4}{3n+2}$

[Key27]

$a_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}}\ln \left( 1- \frac{4}{3n+2} \right)= \frac{1}{\sqrt{n+1}}\left(-\frac{4}{3n+2} \right)$

$a_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{n+2}}\ln \left( 1- \frac{4}{3n+5} \right)= \frac{1}{\sqrt{n+2}}\left(-\frac{4}{3n+5} \right)$

Итого $\lim\limits_{n\to\infty}^{}\frac{a_n}{a_{n+1}}=1$ и интервал сходимости $(-2;0)$. Правильно?

[thething]

Глаза...

-- 29.04.2018, 13:00 --

Key27 в сообщении #1308527 писал(а):

$a_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}}\ln \left( 1- \frac{4}{3n+2} \right)= \frac{1}{\sqrt{n+1}}\left(-\frac{4}{3n+2} \right)$

Хотя бы вот тут эквивалентности ставьте.

[Key27]

thething
Ой, забылся
$a_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}}\ln \left( 1- \frac{4}{3n+2} \right)\sim \frac{1}{\sqrt{n+1}}\left(-\frac{4}{3n+2} \right)$

$a_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{n+2}}\ln \left( 1- \frac{4}{3n+5} \right)\sim \frac{1}{\sqrt{n+2}}\left(-\frac{4}{3n+5} \right)$

Итого $\lim\limits_{n\to\infty}^{}\frac{a_n}{a_{n+1}}=1$, $R(-2;0)$

[thething]

Всё верно

[Key27]

thething
Спасибо!