Не могу разобраться в лемме

[Preqe]

Вещественные числа.
Лемма 2
Пусть даны два вещественных числа $\alpha$ и $\beta$
Если, какое бы не взять число $e>0$, числа $\alpha$ и $\beta$ могут быть заключены между одними и теми же рациональными границами $s$ и $s_1$:

$s_1\geqslant \alpha \geqslant s$

$s_1\geqslant \beta \geqslant s$

разность которых меньше e:

$s_1-s<e$

то числа $\alpha$ и $\beta$ необходимо равны.

Т.е. предположим я возьму числа $\alpha = \sqrt{2}$ и $\beta = \sqrt{3}$. И $s = 1$, $s_1 = 2$, $3 = e > 0$, тогда
$2 \geqslant \sqrt{2} \geqslant 1$
$2 \geqslant \sqrt{3} \geqslant 1$
$2 - 1 = 1 < 3$
Но со всеми соблюденными условиями $\alpha \ne \beta$
В чем ошибка рассуждений? И что значит "рациональные границы"? Нужно подбирать рациональные числа, которые по макс. приближены к вещественному числу? Запутался.

[gris]

Не для какого-то одного $e$, а для любого. Иными словами, если два числа можно поместить в интервал сколь угодно малой длины и с рациональными концами, то эти числа равны. По сути это построение системы интервалов с длинами, стремящимися к нулю.
А, кстати, вот как это может работать. Предположим, у нас есть два выражения: бесконечная сумма, то есть сходящийся ряд, и бесконечное произведение, тоже сходящееся. И мы можем хорошо оценить рациональными числами и некоторую частичную сумму, и некоторое частичное произведение и взять их объединение в виде интервала с концами из рациональных чисел. Потом возьмём более длинные частные суммы и произведения. При умелом оценивании вдруг мы увидим, что у нас длина интервала уменьшается и уменьшается. И может быть сделана сколь угодно малой путём увеличения количества слагаемых и количества сомножителей. И вот из этого следует, что сумма и произведение сходится к одному число, которое может быть и иррациональным.
Причина во всюдуплотности множества рациональных чисел.

[Евгений Машеров]

В том, что условие должно выполняться для любых эпсилонов. Сколь угодно малых.

[Preqe]

Т.е. $\forall e$ должны выполняться те условия? Тогда границы и числа просто уйдут в беск. убывание, это и есть опр. равенства?

[alcoholist]

Preqe в сообщении #1308092 писал(а):

Тогда границы и числа просто уйдут в беск. убывание

хорошо бы писать $s(\varepsilon)$ и $s_1(\varepsilon)$.
Если угодно, лемму можно переформулировать: между любыми двумя различными вещественными числами $\alpha<\beta$ найдется рациональное число $r\in(\alpha,\beta)$.

-- Пт апр 27, 2018 23:04:43 --

gris в сообщении #1308088 писал(а):

И что значит "рациональные границы"?

Вот эти числа $s(\varepsilon)$ и $s_1(\varepsilon)$ и есть "рациональные границы" интервала $\Bigl(s(\varepsilon);s_1(\varepsilon)\Bigr)$.

[iifat]

Preqe в сообщении #1308092 писал(а):

это и есть опр. равенства?

Таки замечу, что это не определение равенства. Это лемма о его свойствах.

(Оффтоп)

Preqe в сообщении #1308092 писал(а):

опр. равенства

Уж не вспомню где читал по поводу этих сокращений: «Люди, ну скажите, на что вы тратите эти драгоценные сэкономленные секунды, часы, дни?»