2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Простое число очков
Сообщение26.04.2018, 17:25 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
а) В однокруговом шахматном турнире участвовало 30 шахматистов. У какого наибольшего числа шахматистов по окончании турнира могло оказаться простое число очков?

(по правилам шахматной игры за победу дают 1 очко, за ничью --- пол-очка, за проигрыш - 0)

б) А если шахматистов было не 30, а 20?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое число очков
Сообщение26.04.2018, 21:53 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
(однокруговой турнир, т.е. каждый игрок играет с каждым другим ровно один раз)
а) Предположим, что среди $30$ игроков $x$ сильных и $30-x$ слабых; сильный всегда выигрывает у слабого, а в своем классе и сильные и слабые всегда играют вничью. Тогда, каждый слабый игрок наберет $\frac{29-x}2$ очков, а каждый сильный - $\frac{x-1}2+(30-x)=15+\frac{29-x}2$ очков. И, например, только $x=25$ подойдет, чтобы у всех игроков получилось простое число очков, у кого по $2$, а у кого по $17$.
Для $20$ шахматистов тоже работает (например, $x=13$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое число очков
Сообщение26.04.2018, 22:36 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
waxtep
Большое спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое число очков
Сообщение27.04.2018, 00:05 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
Ещё вариант для 30 игроков:
1 самый сильнейший обыгрывает всех прочих и набирает $0/2+29=29$ очков;
11 слабее, но одинаковых между собой, слабее себя обыгрывают, между собой вничью, набирают каждый по $10/2+18=23$ очка;
1 ещё слабее, обыгрывает слабее себя, набирает $0/2+17=17$ очков;
7 ещё слабее, но одинаковых между собой, слабее себя обыгрывают, между собой вничью, набирают каждый по $6/2+10=13$ очков;
5 ещё слабее, но одинаковых между собой, слабее себя обыгрывают, между собой вничью, набирают каждый по $4/2+5=7$ очков;
5 самых слабых, но одинаковых между собой, между собой играют вничью и набирают каждый по $4/2+0=2$ очка.

Возможны и другие деления на группы, например 1+11+13+5 или 13+7+5+5 или 13+11+1+5 или 21+3+1+5 или 1+23+1+5 или 1+19+5+5.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое число очков
Сообщение27.04.2018, 01:45 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
Что-то мне кажется что для любого числа игроков (от 5 и более) на заданных условиях игр существует разложение по простым числам очков.
Собственно это следует из сильной ограниченности интервалов между простыми, а начальные значения проверяются прямо. Разложив числа 5..16 легко доказывается для чисел 17..75, а по ним и как минимум до 10000.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое число очков
Сообщение27.04.2018, 10:31 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Dmitriy40
Красивое обобщение, спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group