Доказать без калькулятора

[arqady]

Докажите, что

$$\left(\frac{12}{11}\right)^{\sqrt6}>\left(\frac{11}{10}\right)^{\sqrt5}$$

[slavav]

(Оффтоп)

Логарифмируем, разности логарифмов оцениваем через производную.

[arqady]

slavav
Показали бы... Вы уверены, что обойдётесь без калькулятора?

[lel0lel]

Запишем $10^{\sqrt{5}}12^{\sqrt{6}}>11^{\sqrt{5}}11^{\sqrt{6}}$. Заметим, что 120 и 121 "близкие" числа, в связи с этим запишем $120^{\sqrt{5}}12^{\sqrt{6}-\sqrt{5}}>121^{\sqrt{5}}11^{\sqrt{6}-\sqrt{5}}$. Возведём обе части в степень $\sqrt{6}+\sqrt{5}$, тогда $120^{\sqrt{30}+5} 12>121^{\sqrt{30}+5}11$. Запишем в виде $1+1/11>(1+1/120)^{\sqrt{30}+5}$. Используя формулу Тейлора для функции $f(x)=(1+x)^\alpha$, убеждаемся в справедливости неравенства.

[wrest]

lel0lel в сообщении #1307794 писал(а):

Используя формулу Тейлора для функции $f(x)=(1+x)^\alpha$, убеждаемся в справедливости неравенства.

Так покажите :) Там же разница в 4-м знаке

[slavav]

arqady в сообщении #1307765 писал(а):

slavav
Показали бы... Вы уверены, что обойдётесь без калькулятора?

Нет, не покажу. У меня слабый результат.

[PETIKANTROP]

А я бы, имея мозги 6-7классника, рассмотрела отношения как тангенсы и сравнила разности:
$12^\sqrt{6}$ - $11^\sqrt{5}$ и $11^\sqrt{6}$ - $10^\sqrt{5}$, заменив степени на некоренные.

[root721]

Почему нельзя сделать так?
$120^{\sqrt{5}+\sqrt{6}}>121^{\sqrt{5}+\sqrt{6}}$

[Pphantom]

root721 в сообщении #1307824 писал(а):

$120^{\sqrt{5}+\sqrt{6}}>121^{\sqrt{5}+\sqrt{6}}$

А то, что это неравенство неверно, несущественно?

[wrest]

Пока мысли не ускакали, запишу частное левой и правой частей, вдруг пригодится.

$$\dfrac{2^{\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{6}}3^{\sqrt{6}}5^{\sqrt{5}}}{11^{\sqrt{5}+\sqrt{6}}}>1$$

[lel0lel]

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: $f(x)=1+\alpha x+ \alpha(\alpha-1) \frac{x^2}{2}+\alpha(\alpha-1)(\alpha-2) \frac{x^3}{6}(1+\xi x)^{\alpha-3}$, где $0<\xi<1.$ Оценим остаточный член для нашего случая: $(\sqrt{30}+5)(\sqrt{30}+4)(\sqrt{30}+3)(1+\xi/120)^{(\sqrt{30}+2)}/(6\cdot120^3)<\frac{420+77\sqrt{30}}{4\cdot 120^3}$, эта оценка основана на $(\sqrt{30}+5)(\sqrt{30}+4)(\sqrt{30}+3)=420+77\sqrt{30}$, $(1+1/120)^{(\sqrt{30}+2)}<e^{1/15}<3/2$ (значение 3/2 для удобства). Заметим, что $420+77\sqrt{30}<960$ (так грубо, чтобы было кратно 120), тогда остаётся проверить, что

$$\frac{1}{11}>\frac{\sqrt{30}+5}{120}+\frac{50+9 \sqrt{30}}{2\cdot 120^2}+\frac{960}{4\cdot 120^3}.$$

Превозмогая желание взять калькулятор, проделываем преобразования в правой части и получаем $1/11>209/4800+83 \sqrt{30}/9600$ или $5002>913 \sqrt{30}$. Возводя в квадрат обе части, получим 25020004>25007070.

(Оффтоп)

Калькулятором под конец я пользовался)

[wrest]

lel0lel в сообщении #1307880 писал(а):

$(1+1/120)^{(\sqrt{30}+2)}<e^{1/15}$

Почему?

[lel0lel]

$(1+1/120)^{120}<e$, так как функция $g(x)=(1+1/x)^x$ монотонно возрастает и стремится к известному пределу. Тогда $(1+1/120)^8<e^{1/15}$, а поскольку $\sqrt{30}+2<8$, то мы получим требуемое.

[venco]

$$\left(\frac{12}{11}\right)^{\sqrt6}>\left(\frac{11}{10}\right)^{\sqrt5}$$

$$\left(\frac{12}{11}\right)^{\sqrt6}\left(\frac{10}{11}\right)^{\sqrt5}>1$$

возводим в степень $\sqrt{\frac{2}{11}}$:

$$\left(\frac{12}{11}\right)^{\sqrt{\frac{12}{11}}}\left(\frac{10}{11}\right)^{\sqrt{\frac{10}{11}}}>1$$

$$\left(1+\frac1{11}\right)^{\sqrt{1+\frac1{11}}}\left(1-\frac1{11}\right)^{\sqrt{1-\frac1{11}}}>1$$

$$(1+x)^{\sqrt{1+x}}(1-x)^{\sqrt{1-x}}>1$$

логарифмируем:

$$\sqrt{1+x}\ln(1+x)+\sqrt{1-x}\ln(1-x)>0$$

Дальше дифференцируем $\sqrt{1+x}\ln(1+x)$ и выясняем, что все чётные производные неотрицательны (а нечётные в сумме сокращаются).
Всё.

[arqady]

My congratulations! Ваша функция действително положительна при $0<x<1$. Ваш способ доказательства, правда, непонятен для меня. Почему все чётные производные неотрицательны? Трудности, по-моему, возникают уже с нулевой производной.