Теорема Пикара

[MChagall]

Доказать, что у функции $f(z)=ze^z$ нет пикаровских исключительных значений.

Ну мысль лишь одна: попробовать прийти к противоречию как в доказательстве теоремы Пикара, т.е. создать целую функцию, которая не может принимать значений $0, 1, \infty$ и дальше взять композицию с функцией, обратной к модулярной. Но создать такую функцию у меня не получается. Я думаю нужно использовать какое-то свойство $f(z)$, но какое - не знаю. Пока заметил лишь, что $f^{(n)}(z)=ne^z+f(z)$. Как здесь быть?

[Slav-27]

А вы знаете большую теорему Пикара? Что в любой окрестности существенной особой точки...?

[MChagall]

Slav-27 в сообщении #1307545 писал(а):

Что в любой окрестности существенной особой точки...

... любая функция принимает все конечные значения кроме, быть может, одного.
Была упомянута на лекции без доказательства. Как-то она может помочь?

[vpb]

Принцип аргументу применяйте, туды его в качель... Дальше, извините, сами думайте. Впрочем, возможно, есть и более простой путь, только я его не вижу. Пытаться же тут применить саму теорему Пикара, или же рассуждения из ее доказательства, по моему, бесполезно.

[RIP]

(простой путь)

Можно сделать замену $z=\mathrm{e}^{t}$.

[Slav-27]

MChagall в сообщении #1307550 писал(а):

... любая функция принимает все конечные значения кроме, быть может, одного.

Ну вот. Ноль она там принимает?

-- 26.04.2018, 15:14 --

Только не любая, естественно, а голоморфная.

[DeBill]

MChagall
Пусть $a$ - исключительное значение. Тогда функция $\ln (ze^z-a)$ голоморфна на всей плоскости. Зуб даю, что эта целая функция растет на бесконечности не шибко быстро. А таких - хило растущих - их всего то раз, два - и обчёлся....

(Оффтоп)

Будьте аккуратны при оценке аргумента под логарифмом: он таки растет - хотя и хило. И: про оценки Коши помните?

[MChagall]

DeBill
Так, вроде, решения Slav-27 и RIP подходят и проще гораздо. vpb
тоже предложил, которое я почти довёл, но потом увидел вышеуказанные.