Числа 1, 2, 3, ... , 2018 разбили на пары...

[Ktina]

Числа $1, 2, 3, \dots , 2018$ разбили на пары, при этом оказалось, что произведение чисел в каждой паре не превосходит некоторого натурального $n$. При каком наименьшем $n$ это возможно? А при каком наибольшем $n$ это возможно (разумеется, в этом случае "не превосходит" нужно заменить на "не меньше")?

[waxtep]

Ну, $1009\cdot1010$ и $1\cdot2018$, да?
Второе совсем легко, ведь единицу с неизбежностью надо на кого-то помножить.
А первое так: чисел, больших $1009$, ровно половина, и если перемножить два таких числа, будет совсем худо. Значит, каждое из них имеет смысл умножать на числа из второй половины, и $1009\cdot1010$ - минимум для произведения, где один из множителей равен $1009$. А остальные произведения можно сделать еще меньше, т.к. $(a-1)(b+1)<ab$ при $a<b$, т.е. $1008\cdot1011,1007\cdot1012,\ldots1\cdot2018$.

[Ktina]

waxtep
Большое спасибо!