Решить дифференциальное уравнение в частных производных

[ioleg19029700]

Нужно решить дифференциальное уравнение в частных производных при дополнительных условиях:

$$(z-x)^2{\partial z\over \partial y} + yz {\partial z\over \partial x} = xy$$

Составим систему:

$${dy \over (z-x)^2} = {dx \over yz} = {dz \over xy}$$

Рассмотрев второе и третье получим:

$$x^2-z^2=C_1$$

"Вычтя" из второго третье и приравняв к первому уравнению, получим:

$${dy\over (z-x)^2} = {d(x-z) \over y(z-x)}$$

Сократив на одну скобочку в знаменателе, перемножим крест накрест и вынесем из $(z-x)$ минус. Тогда получим:

$$ydy = -(x-z)d(x-z) \Rightarrow$$

$$y^2 + (z-x)^2 = C_2$$

Теперь используя доп. условия получим, что $C_2 = 25$, а

$$C_1 = x^2 - x^2 -6x - 9 = -6x - 9$$

То есть не получается "связать" произвольные коэффиценты, чтобы потом вместо них подставить то, что получилось или я не могу понять как это лучше сделать.

-- 25.04.2018, 03:57 --

Дополнительные условия: $z=x+3$ при $y=4$

[thething]

Так а Вы разве не решили уже задачу, если можно написать $y^2+(z-x)^2=25$?

[ioleg19029700]

thething
Дополнительному условию конечно удовлетворяет, но как проверить что исходное уравнение обращается в тождество? Я пробовал и у меня не получилось. Да и зачем тогда нужна вторая константа? Как получить явное выражение для $z$ через $x$ и $y$?

[DeBill]

ioleg19029700 в сообщении #1307200 писал(а):

Как получить явное выражение для $z$ через $x$ и $y$?

В смысле: Вы спрашиваете, как решить квадратное уравнение????
И, кстати, при его решении - таки лшний корень надо отбросить.

[thething]

ioleg19029700
Можно продифференцировать, как неявную функцию выражение

thething в сообщении #1307134 писал(а):

$y^2+(z-x)^2=25$?

Все подставляется и получается тождество. Просто часто выразить Вы ничего не сможете, от слова совсем. Хотя в данном случае и можно.

-- 25.04.2018, 14:41 --

ioleg19029700 в сообщении #1307200 писал(а):

Да и зачем тогда нужна вторая константа?

Вторая константа должна участвовать в общем решении. Хотите -- можете ее найти, подставив правильные $x,z$

[Red_Herring]

Общее решение будет иметь вид $C_2 =\phi(C_1)$ (т.е. $y^2+(z-x)^2=\phi (x^2-z^2)$) с произвольной функцией $\phi$, которая в данном случае будет тождественно $25$

[Markiyan Hirnyk]

Red_Herring
Мэйпл придерживается иного мнения, произведя довольно заковыристое выражение для $z(x,y)$. Математика поддерживает Мэйпл по данному вопросу.

[Red_Herring]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1307211 писал(а):

Мэйпл придерживается иного мнения, произведя довольно заковыристое выражение для $z(x,y)$.

Нет бога кроме Мейпла, и Markiyan Hirnyk пророк его! То ли бог фальшивый, то ли пророк лукавый

[thething]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1307211 писал(а):

Мэйпл придерживается иного мнения, произведя довольно заковыристое выражение для $z(x,y)$. Математика поддерживает Мэйпл по данному вопросу.

А зачем полу-устную задачу решать в пакетах? И тем более в ответе нет ничего "заковыристого", ни в общем решении, ни в частном..

[Red_Herring]

Следует помнить, что $C_1$ и $C_2$ не константы "вообще", а только вдоль траекторий динамической системы. Поскольку таких пар констант можно выбрать бесконечно много, то различных по виду, но совпадающих при соответствующей замене $\phi$, общих решений можно написать очень много. Это, кстати, довольно часто наблюдается у старательных, но не самых умных студентов--найдя два таких решения, устроить "холивор", не понимая, что их ответы "изоморфны".

[Pphantom]

Markiyan Hirnyk, бан на 2 месяца за систематическое невыполнение требований модератора.