2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Решить дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение25.04.2018, 02:22 


21/12/16
73
Нужно решить дифференциальное уравнение в частных производных при дополнительных условиях:
$$(z-x)^2{\partial z\over \partial y} + yz {\partial z\over \partial x} = xy$$
Составим систему: $${dy \over (z-x)^2} = {dx \over yz} = {dz \over xy}$$
Рассмотрев второе и третье получим: $$x^2-z^2=C_1$$
"Вычтя" из второго третье и приравняв к первому уравнению, получим:
$${dy\over (z-x)^2} = {d(x-z) \over y(z-x)}$$
Сократив на одну скобочку в знаменателе, перемножим крест накрест и вынесем из $(z-x)$ минус. Тогда получим:
$$ydy = -(x-z)d(x-z) \Rightarrow$$
$$y^2 + (z-x)^2 = C_2$$
Теперь используя доп. условия получим, что $C_2 = 25$, а $$C_1 = x^2 - x^2 -6x - 9 = -6x - 9$$
То есть не получается "связать" произвольные коэффиценты, чтобы потом вместо них подставить то, что получилось или я не могу понять как это лучше сделать.

-- 25.04.2018, 03:57 --

Дополнительные условия: $z=x+3$ при $y=4$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение25.04.2018, 04:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
Так а Вы разве не решили уже задачу, если можно написать $y^2+(z-x)^2=25$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение25.04.2018, 12:31 


21/12/16
73
thething
Дополнительному условию конечно удовлетворяет, но как проверить что исходное уравнение обращается в тождество? Я пробовал и у меня не получилось. Да и зачем тогда нужна вторая константа? Как получить явное выражение для $z$ через $x$ и $y$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение25.04.2018, 12:36 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
ioleg19029700 в сообщении #1307200 писал(а):
Как получить явное выражение для $z$ через $x$ и $y$?

В смысле: Вы спрашиваете, как решить квадратное уравнение????
И, кстати, при его решении - таки лшний корень надо отбросить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение25.04.2018, 12:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
ioleg19029700
Можно продифференцировать, как неявную функцию выражение
thething в сообщении #1307134 писал(а):
$y^2+(z-x)^2=25$?

Все подставляется и получается тождество. Просто часто выразить Вы ничего не сможете, от слова совсем. Хотя в данном случае и можно.

-- 25.04.2018, 14:41 --

ioleg19029700 в сообщении #1307200 писал(а):
Да и зачем тогда нужна вторая константа?

Вторая константа должна участвовать в общем решении. Хотите -- можете ее найти, подставив правильные $x,z$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение25.04.2018, 12:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11312
Hogtown
Общее решение будет иметь вид $C_2 =\phi(C_1)$ (т.е. $y^2+(z-x)^2=\phi (x^2-z^2)$) с произвольной функцией $\phi$, которая в данном случае будет тождественно $25$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение25.04.2018, 13:20 


11/07/16
825
Red_Herring
Мэйпл придерживается иного мнения, произведя довольно заковыристое выражение для $z(x,y)$. Математика поддерживает Мэйпл по данному вопросу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение25.04.2018, 13:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11312
Hogtown
Markiyan Hirnyk в сообщении #1307211 писал(а):
Мэйпл придерживается иного мнения, произведя довольно заковыристое выражение для $z(x,y)$.
Нет бога кроме Мейпла, и Markiyan Hirnyk пророк его! То ли бог фальшивый, то ли пророк лукавый

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение25.04.2018, 13:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
Markiyan Hirnyk в сообщении #1307211 писал(а):
Мэйпл придерживается иного мнения, произведя довольно заковыристое выражение для $z(x,y)$. Математика поддерживает Мэйпл по данному вопросу.

А зачем полу-устную задачу решать в пакетах? И тем более в ответе нет ничего "заковыристого", ни в общем решении, ни в частном..

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение25.04.2018, 13:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11312
Hogtown
Следует помнить, что $C_1$ и $C_2$ не константы "вообще", а только вдоль траекторий динамической системы. Поскольку таких пар констант можно выбрать бесконечно много, то различных по виду, но совпадающих при соответствующей замене $\phi$, общих решений можно написать очень много. Это, кстати, довольно часто наблюдается у старательных, но не самых умных студентов--найдя два таких решения, устроить "холивор", не понимая, что их ответы "изоморфны".

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение25.04.2018, 21:08 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 !  Markiyan Hirnyk, бан на 2 месяца за систематическое невыполнение требований модератора.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group