дискретная математика, задача про ряды

[philurame]

никак не могу доказать равенство: $\sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\binom{2(n-k)}{n-k} =2^{2n} $ с использованием (уже доказанных) равенств: $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \binom{2n}{n}t^n=(1-4t)^{-\frac{1}{2}}$ (следует из $(1+t)^p:=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{p(p-1)..(p-n+1)}{n!}t^n$) и $(1+t)^a(1+t)^b=(1+t)^{a+b}$; также известнo $\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=(1+t)^n$, где $\binom{a}{b}$- число сочитаний из $a$ по $b$
я пытался разложить $2^{2n}=\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}$, но не знаю что делать дальше. Помогите пожалуйста

[Someone]

С каких пор ряды попали в дискретную математику? Это всегда был математический анализ.

Здесь прежде всего разберитесь, где у Вас параметр (который $n$), а где — индекс суммирования, который тоже почему-то оказался $n$.
Потом перемножьте два ряда для степени $-\frac 12$ и посмотрите на результат.

[deep blue]

philurame в сообщении #1306898 писал(а):

никак не могу доказать равенство: $\sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\binom{2(n-k)}{n-k} =2^{2n} $

Равенство неверно. При n=1 левая часть равна 3, а правая 4.

[philurame]

простите, ошибся.

$$\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{2k}{k}\binom{2(n-k)}{n-k}=2^{2n}$$