Производная по направлению в точке

[inzhenerbezmozgov]

1)Найти производную функции $e^{xyz}+\cos(\dfrac{x}{z})\cdot \ln x(x^2+y^2)$ по направлению вектора $AB$ в точке $A$. $A=(0,1,1), B=(3,3,7)$
Как искать производную по направлению в точке, если частные производные в $A$ не определены?
2) Показать, что $z=f(\dfrac{y}{x})$ удовлетворяет дифференциальному уравнению $x\cdot\dfrac{\partial z}{\partial x}+y \cdot \dfrac{\partial z}{\partial y}=0$. Поясните, пожалуйста, за обозначение $z=f(\dfrac{y}{x})$. Я не совсем понимаю, как можно решить эту задачу, не зная, какая именно функция от $\dfrac{y}{x}$ задана.

[mihaild]

Да тут не то что производные, тут сама функция в $A$ не определена. Точно опечаток нет?

[inzhenerbezmozgov]

mihaild
не знаю, я спрошу завтра

[thething]

inzhenerbezmozgov в сообщении #1306684 писал(а):

Я не совсем понимаю, как можно решить эту задачу, не зная, какая именно функция от $\dfrac{y}{x}$ задана.

Дифференцировать, как сложную функцию. Производная от $f$ умножается на производную аргумента по соответствующей переменной

[vpb]

inzhenerbezmozgov в сообщении #1306684 писал(а):

Поясните, пожалуйста, за обозначение $z=f(\dfrac{y}{x})$

Пусть дана некоторая функция одной переменной $f(x)$. Образуем функцию от двух переменных $x$, $y$, и обозначаем ее $z$, по правилу $z=z(x,y)=f(x/y)$. Теперь понятно? И требуется показать, что какая бы ни была исходная функция $f$, если она достаточно гладкая, то выполнено то дифференциальное уравнение (при $x\ne0$).

[inzhenerbezmozgov]

thething
Ага, это я тупанул что-то, все получилось.
[color=#3333FF]mihaild[/сolor]
Есть. Преподаватель сказал взять другую точку
vpb
Да, понятно-понятно. Просто непривычно сначала. Я ж в школе никогда с таким не сталкивался, а в лекциях нам такого еще не успели дать.

vpb в сообщении #1306696 писал(а):

если она достаточно гладкая,

А какой критерий достаточной гладкости? Я слышал только про гладкие функции. Достаточная гладкость влечет дифференцируемость?

[Someone]

inzhenerbezmozgov в сообщении #1306932 писал(а):

А какой критерий достаточной гладкости?

"Достаточная гладкость" — это не термин, а неформальное выражение. Означает, что функция имеет не меньше (непрерывных) производных, чем нам нужно. Если нам нужно пять производных, то функция должна иметь не меньше пяти. Если нужна одна производная, то, соответственно, не меньше одной.

[vpb]

Например, в данном случае нам достаточно всего лишь, чтобы функция была дифференцируемой.