Что такое основание натурального логарифма?

[root_knowledge]

Меня не интересуют определения через предел, сумму ряда или то что экспонента дифференцируется в саму себя.
Я хочу понять как эта абстракция проявляется во вне (в наблюдаемом мире). Понятно, что это число является пределом, то есть вводится при помощи бесконечности, а в наблюдаемом мире никакой бесконечности нету (по крайней мере подтверждений этому еще не найдено), но дискретные приближения найти всегда можно.

Как говорил один умный человек: "Наука должна начинаться с фактов и заканчиваться ими, вне зависимости от того, какие теоретические структуры строятся между началом и концом".
Если допустить, что математика начинается с натуральных чисел (фактов), и заканчивается (не в смысле вот прямо конец, а просто одно из проявлений) к примеру дифференциальными уравнениями течения жидкостей (факты, понятно, что и приближенные), то число e тут будет где-то посередине (теоретическая структура).

Так вот т.к. уж слишком много в математике завязано на это самое основание натурального логарифма, очень хочется вывести его из теоретической структуры (инструмента получения фактов) в эти самые факты. То есть лучше осознать его, как к примеру мы осознаем натуральные числа или дифференциальные уравнения движения материальной точки.

[Munin]

root_knowledge в сообщении #1306466 писал(а):

Я хочу понять как эта абстракция проявляется во вне (в наблюдаемом мире).

Никак.

root_knowledge в сообщении #1306466 писал(а):

Так вот т.к. уж слишком много в математике завязано на это самое основание натурального логарифма, очень хочется вывести его из теоретической структуры (инструмента получения фактов) в эти самые факты.

То, чем вы хотите заниматься, - это дурная философия. Всё намного проще, но если вы не смиритесь с этим, то будете вечно топтаться на месте.

Почему в 1 долларе 100 центов? Для удобства.

[root_knowledge]

Munin в сообщении #1306470 писал(а):

Почему в 1 долларе 100 центов? Для удобства.

Но и 1 доллар и 1 цент для вас понятные сущности из наблюдаемого мира, которые обладают в нем определенными свойствами. (за 1 доллар можно купить дешевую чашку кофе а за 1 цент уже нет)

Нормальное распределение можно интерпретировать например в виде графика, а вот число e, входящее в формулу этого распределения, уже нельзя.
В теории можно подойти к этому процессу через экспоненту и отталкиваться от нее. Но как интерпретировать экспоненту?
Как график? Но что от этого толку, ибо умножив экспоненту на другую функцию, или скомпоновав экспоненту в более сложную функцию, проследить визуально изменение ее графика уже не представляется возможным.
Отталкиваться от ее свойств? Подход кажется более многообещающим. Но опять же компонуем экспоненту с другой функцией и как понять эволюцию свойств новой функции из свойств ее составляющих?

Неужели в итоге нужно пользоваться подходом, типа вот тебе нормальное распределение. Вот его формула, много о ней не думай все равно бессмысленно. Но вот тебе правила работы с кирпичиками ее составляющими, ты можешь их интегрировать, дифференцировать, раскладывать в ряды, брать какие нить пределы. Повторять все это n-ное кол-во раз. В итоге у тебя могут получиться еще более сложные и непонятные формулы. У некоторой из формул окажутся какие нить прикольные свойства, которых раньше никто не замечал, и ты можешь написать об этом статью.

[Munin]

root_knowledge в сообщении #1306474 писал(а):

В итоге у тебя могут получиться еще более сложные и непонятные формулы. У некоторой из формул окажутся какие нить прикольные свойства

В целом да, вот так математика и устроена.

Всё в ней или прикольно, или выбрано для удобства, или иногда из реального мира (но далеко не всегда).

[Xaositect]

Я тут писал один раз про натуральные логарифмы: post617959.html#p617959

[epros]

root_knowledge, Вы бы сначала хорошенько подумали, что именно хотите спросить. А то какая-то непонятная мешанина слов получается. Какое "проявление в наблюдаемом мире"? Что значит "вывести его из теоретической структуры (инструмента получения фактов) в эти самые факты"? Это вообще о чём?

Вот, например, число пи у Вас такие же дурацкие вопросы вызывает или нет? Может Вы считаете, что отношение длины окружности к диаметру - это и есть "проявление в наблюдаемом мире"?

[wrest]

root_knowledge
Можно придумать много пояснений что это за число. Вот одно из них.
$e$ это такое число, которое если возвести его в положительную степень $x$, то результат получится больше чем если $x$ возвести в степень $e$.
То есть, вот например $2^3<3^2$ но $3^4>4^3$, и заранее вроде неясно, что больше $x^y$ или $y^x$.
Так вот, оказывается, что где-то между двойкой и тройкой есть такое число $y$, что $y^x>x^y$ для любых $x$ (положительных и не равных $y$, естественно). И это число $y$ и есть $e$.

[root_knowledge]

Xaositect в сообщении #1306476 писал(а):

Я тут писал один раз про натуральные логарифмы: post617959.html#p617959

Спасибо.
Думаю ключевое тут это переход от умножения к сложению. В связи с этим всплывает и число e. Как некоторая единица измерения. Как это связать например с нормальным распределением уже нужно думать.

epros в сообщении #1306477 писал(а):

root_knowledge, Вы бы сначала хорошенько подумали, что именно хотите спросить. А то какая-то непонятная мешанина слов получается. Какое "проявление в наблюдаемом мире"? Что значит "вывести его из теоретической структуры (инструмента получения фактов) в эти самые факты"? Это вообще о чём?

Перед тем как это написать, я привел цитату Эйнштейна. Смысл которой я думаю понятен. Соответственно смысл словосочетаний "теоретической структуры" и "факты" из моего текста нужно искать в понимании этой цитаты. "Проявление в наблюдаемом мире" - это свойство которым должны обладать факты.

Приведу цитату из википедии:

Цитата:

Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути, занимаются математическим моделированием: заменяют объект исследования его математической моделью и затем изучают последнюю. Связь математической модели с реальностью осуществляется с помощью цепочки гипотез, идеализаций и упрощений. С помощью математических методов описывается, как правило, идеальный объект, построенный на этапе содержательного моделирования[⇨].

Так вот есть некоторые "наблюдения из реального мира" - они же факты. Они же "проявляются в наблюдаемом мире". Под них строится некоторая математическая модель. (к примеру как определение вероятности события, через тот факт из реального мира, что повторяя эксперимент множество раз, отношение кол-ва определенных исходов эксперимента к общему числу проведенных испытаний начинает приобретать некоторую статистическую устойчивость. ) С этой мат. моделью мы можем оперировать, и при помощи нее получать определенные выводы, которые могут согласоваться с реальным миром.

Так вот хочется либо внести в мат модель это самое число e из реального мира. Либо наоборот, внести в мат модель что-то другое (например натуральные числа, операции сложение и умножение) и вывести из них число e, связав его с реальным миром, либо найдя прямую аналогию, либо проанализировав метод получения этого числа из элементарных операций, связанных с реальным миром, и воспроизведя в голове за раз всю общую картину получения числа e, возможно найдя какие то обобщения и прочие вещи. Чтобы с этой картинкой можно было работать дальше и изучать уже к примеру нормальное распределение на ее основе.

epros в сообщении #1306477 писал(а):

Вот, например, число пи у Вас такие же дурацкие вопросы вызывает или нет? Может Вы считаете, что отношение длины окружности к диаметру - это и есть "проявление в наблюдаемом мире"?

Да вполне отлично проявление. Также число пи по факту неразлучно с операциями взятия синуса и косинуса, которые тоже имеют аналоги в реальном мире. И можно рассматривать число пи через них.

[Someone]

Не нравится число $e$ — используйте показательную функцию с любым другим основанием (положительным и не равным единице). Некоторые формулы станут чуть сложнее, ну и фиг с ними.

[wrest]

root_knowledge в сообщении #1306515 писал(а):

Также число пи по факту неразлучно с операциями взятия синуса и косинуса, которые тоже имеют аналоги в реальном мире.

Это как это, поясните?

[miflin]

root_knowledge в сообщении #1306515 писал(а):

внести в мат модель это самое число e из реального мира.

Ну, если так уж приспичило хочется (хотя непонятно, зачем), составьте и решите дифур для радиоактивного распада.
Это очень просто, и число $e$ появится в решении самым естественным образом.
Можно потом перейти к основанию $2$ или к какому-то другому. К "золотому сечению", например...

[root_knowledge]

wrest в сообщении #1306517 писал(а):

root_knowledge в сообщении #1306515 писал(а):

Также число пи по факту неразлучно с операциями взятия синуса и косинуса, которые тоже имеют аналоги в реальном мире.

Это как это, поясните?

связь с пи:
Синус от пи равен 0
Косинус от пи равен -1

связь с реальностью:
Синус это сколько гипотенуз содержится в противолежащем катете
Косинус это сколько гипотенуз содержится в прилежащем катете
Если положить длину гипотенузы равной одному, то синус и косинус сведутся к длине соответствующих катетов.
Разумеется держим в голове следующую визуальную картинку

miflin в сообщении #1306525 писал(а):

root_knowledge в сообщении #1306515 писал(а):

внести в мат модель это самое число e из реального мира.

Ну, если так уж приспичило хочется (хотя непонятно, зачем), составьте и решите дифур для радиоактивного распада.
Это очень просто, и число $e$ появится в решении самым естественным образом.
Можно потом перейти к основанию $2$ или к какому-то другому. К "золотому сечению", например...

Для химиков-ядерщиков возможно вполне ничего вариант. Но я обычный программист, мне бы сущности попроще.

[wrest]

root_knowledge в сообщении #1306526 писал(а):

Синус от пи равен 0

Это зависит от способа введения угловой меры. Например синус 180 градусов равен нулю без всяких $\pi$

-- 22.04.2018, 23:20 --

root_knowledge в сообщении #1306526 писал(а):

связь с реальностью:
Синус это сколько гипотенуз содержится в противолежащем катете
Косинус это сколько гипотенуз содержится в прилежащем катете
Если положить длину гипотенузы равной одному, то синус и косинус сведутся к длине соответствующих катетов.

Только к $\pi$ это отношения не имеет.

[epros]

root_knowledge в сообщении #1306515 писал(а):

Перед тем как это написать, я привел цитату Эйнштейна. Смысл которой я думаю понятен.

Смысл цитаты как раз понятен, а вот что Вы бы хотели услышать - не очень.

root_knowledge в сообщении #1306515 писал(а):

Так вот хочется либо внести в мат модель это самое число e из реального мира.

Дык, таких связей с реальным миром больно уж много. И непонятно, какие из них Вас устроят, а какие нет.

root_knowledge в сообщении #1306515 писал(а):

Да вполне отлично проявление.

Ну вот, скажем, если взять какой-нибудь ядерный распад. Некоторые пользуются понятием "период полураспада", а можно по-другому: Экстраполировать убывание радиоактивного вещества прямой линией, и измерить количество вещества, реально оставшегося в тот момент, когда эта линия пересечёт нулевую отметку. Окажется, что оно уменьшилось именно в $e$ раз сравнительно с начальным количеством. Чем не связь с реальностью? Но, с другой стороны, Вы вроде возражали против указаний на то, как связаны экспонента и её производная...

Опять же, с тем же числом $\pi$ его можно связать минимум двумя общеизвестными способами: $e^{i \pi}=-1$ и $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$.

-- Пн апр 23, 2018 00:22:54 --

Ну вот, пока набирал, обо всём сказали..

-- Пн апр 23, 2018 00:28:07 --

root_knowledge в сообщении #1306526 писал(а):

Для химиков-ядерщиков возможно вполне ничего вариант. Но я обычный программист, мне бы сущности попроще.

С точки зрения программиста ядерный распад можно считать своего рода убывающей геометрической прогрессией.

[root_knowledge]

wrest в сообщении #1306530 писал(а):

Это зависит от способа введения угловой меры. Например синус 180 градусов равен нулю без всяких $\pi$

Так зачем усложнять себе жизнь. Вводим угловую меру как радианную. Нам же на данный момент не столько синусы важны сколько число пи.

wrest в сообщении #1306530 писал(а):

Только к $\pi$ это отношения не имеет.

Так это про связь с реальностью синусов и косинусов, а не пи.
Приплюсовываем сюда определение пи через синусы, данное выше. (как вы заметили с пометкой что угловая мера является радианной), и в итоге получаем связь пи с реальностью через синусы. (В связи с радианной мерой, отсюда вытечет, что пи это отношение длины окружности к диаметру, но это уже такое.)
Не претендую на математическую точность. Я сейчас больше про способ восприятия всех этих абстракций мозгом.

-- 23.04.2018, 00:47 --

epros писал(а):

Дык, таких связей с реальным миром больно уж много. И непонятно, какие из них Вас устроят, а какие нет.

Самые интуитивно понятные. Которые можно вспомнить в любой момент и представить быстро в уме, когда видишь формулу с числом e.

epros писал(а):

С точки зрения программиста ядерный распад можно считать своего рода убывающей геометрической прогрессией.

В таком случае мы тут уже абстрагируемся от непосредственно ядерного распада. И нам нужно представить не что-то реальное, а убывающую геометрическую прогрессию со свойствами завязанными на число e. Короче вводим число e через само себя.