Найти экстремум функционала

[ioleg19029700]

Найти экстремум функционала

$$\int\limits_{x_0}^{x_1}{1+y^2\over \dot{y}^2}$$

Напишем уравнение Эйлера:

$${y \over \dot{y}^2} - {3\ddot{y}\over \dot{y}^4} - {3y^2\ddot{y}\over\dot{y}^4} + {2y\dot{y}\over\dot{y}^3} = 0$$

После упрощения получим:

$${y\dot{y}^2 - \ddot{y} - y^2\ddot{y} \over \dot{y}^4} = 0$$

Тут я застрял и не могу понять что делать. Я заметил, что

$$y{d\over dx}({y\over \dot{y}^3}) = {y\dot{y}^2 - 3\ddot{y}y^2\over \dot{y}^4}$$

это единственное что более менее похоже на то, что у меня получилось. Но что делать дальше ума не приложу

[thething]

А Вы знаете, что в частном случае, когда подынтегральное выражение явно не зависит от $x$, вместо уравнения Эйлера можно записать $L_{\dot{y}} \dot{y}-L=C$?

[DeBill]

Поделим дробь на $1+y^2$, и домножим на игрек с точкой в кубе...И будет хорошо!

[ioleg19029700]

thething
Первый раз слышу такое. Что такое $L_{\dot{y}}$ и $L$?
DeBill
Мою дробь, в которой есть $d\over dx$ или ту что после финального упрощения? В любом случае я не вижу, чтобы что-то сократилось

[DeBill]

После упрощения: там же вторая производная умножается на $1+y^2$

[thething]

ioleg19029700 в сообщении #1306427 писал(а):

Что такое $L_{\dot{y}}$ и $L$?

$L$ -- это то, что стоит под интегралом, $L_\dot{y}$ -- соответственно, производная по $\dot{y}$

[ioleg19029700]

DeBill
Да, простите. Что-то совсем ослеп. В общем получил вот такое:

$${y\dot{y} \over 1+y^2} - {\ddot{y}\over \dot{y}}=0$$

Второе слагаемое похоже на логарифмическую производную, но первое все равно не понимаю

[DeBill]

Второе - да. Первое: производная от половинки логарифма от $1+y^2$.
Если делать по thething, получится то же самое.

[thething]

DeBill в сообщении #1306439 писал(а):

Если делать по thething, получится то же самое.

Ну только сразу уравнение первого порядка будет, решать придется введением параметра

-- 22.04.2018, 19:15 --

Кстати, а чего бы не попробовать замену $\dot{y}=u$, как в обычном уравнении, допускающем понижение порядка? Тут же ведь нет икса? Вроде проходит этот способ

-- 22.04.2018, 19:28 --

И это будет третий способ получить то же самое

-- 22.04.2018, 19:33 --

Хотя, с параметром -- это я погорячился, решается нормально и без..

[ioleg19029700]

DeBill
Спасибо! Всё получилось