Поршневым воздушным насосом откачивают сосуд объемом...

[megatumoxa]

Поршневым воздушным насосом откачивают сосуд объемом $V$. За один цикл (ход поршня) насос захватывает объем $\Delta V$. Сколько следует сделать циклов, чтобы давление в сосуде уменьшилось в $n$ раз? Процесс считать изотермическим, газ — идеальным.

Вот что в решении:

$P_iV=\nu _iRT$;

$P_{i+1}V=\nu _i\left(1-\frac{\Delta V}{V}\right)RT$;

$P_{i+1}=P_i\left(1-\frac{\Delta V}{V}\right)$.

У меня получается только так:

$P_iV=P_{i+1}(V+\Delta V)$;

$P_{i+1}=P_i\left(\frac{V}{V+\Delta V}\right)$.

Как получается данное выражение $\left(1-\frac{\Delta V}{V}\right)$?

[Metford]

megatumoxa в сообщении #1306163 писал(а):

$\frac{V}{V+\Delta V}=1-\frac{\Delta V}{V}$

А это уже не совсем элементарное преобразование. Ну, вернее, смотря для какого этапа образования. Для школы - не очень элементарное.
Это равенство приближённое для случая, когда $\Delta V$ много меньше, чем $V$. Бывает очень полезным на практике.

[megatumoxa]

Metford в сообщении #1306164 писал(а):

А это уже не совсем элементарное преобразование. Ну, вернее, смотря для какого этапа образования. Для школы - не очень элементарное.
Это равенство приближённое для случая, когда $\Delta V$ много меньше, чем $V$. Бывает очень полезным на практике.

Возможно оно и не нужно, а я просто не совсем понял как это получено в задачи.

$P_iV=\nu _iRT$

$P_{i+1}V=\nu _i\left(1-\frac{\Delta V}{V}\right)RT$

Я решал немного другим способом и у меня получилось в итоговом ответе в скобках другое выражение. Численно они равны.

-- 21.04.2018, 18:36 --

megatumoxa в сообщении #1306167 писал(а):

$P_iV=\nu _iRT$

$P_{i+1}V=\nu _i\left(1-\frac{\Delta V}{V}\right)RT$

Как это можно получить?

У меня получается $P_{i+1}V=\nu _i\left(\frac{V}{V+\Delta V}\right)RT$

[Metford]

megatumoxa в сообщении #1306167 писал(а):

Как это можно получить?

А кто ж его знает... Задачи-то в теме нет... Учитывая, что мы в математическом разделе, видимо, здесь задачу обсуждать неправильно будет. Что можно сказать: совпадение численных результатов не показательно. Если $\Delta V\ll V$, то оно и должно быть - с некоторой точностью, конечно (просто исходя из Ваших формул - не вдаваясь в детали, имеет ли всё это отношение к правильному решению).

В общем, с задачей - лучше в физический раздел. В отдельную тему.

[Eule_A]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- поправьте, пожалуйста, заголовок сообразно теме;
- приведите в стартовом сообщении формулировку задачи, о которой идёт речь, и соображения, которые Вас привели к выписанному дальше уравнению.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Eule_A]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: замечания учтены.

[megatumoxa]

Metford в сообщении #1306197 писал(а):

В общем, с задачей - лучше в физический раздел. В отдельную тему.

Готово.

[mihiv]

megatumoxa в сообщении #1306163 писал(а):

Поршневым воздушным насосом откачивают сосуд объемом $V$. За один цикл (ход поршня) насос захватывает объем $\Delta V$

Имеется в виду, что за один цикл удаляется масса газа, содержащаяся в объеме $\Delta V$.

[megatumoxa]

С этой разобрался. На закрепление взял эту, но как всегда что-то идет не так.

Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде как функцию времени откачки $t$. Объем сосуда $V$, первоначальное давление $P_0$. Процесс считать изотермическим и скорость откачки не зависящей от давления и равной $C$.
Примечание. Скоростью откачки называют объем газа, откачиваемый за единицу времени, причем этот объем измеряется при давлении газа в данный момент.

$\upsilon=Cdt$;

$PV=\operatorname{const};

$dPV=PCdt$;

$\frac{dP}{P}=\frac{C}{V}dt$;

$\int\limits_{P_0}^{P}\frac{dP}{P}=\frac{C}{V}\int\limits_{0}^{t}dt$;

$\ln P-\ln P_0=\frac{Ct}{V}$;

$P=e^{\left(\frac{Ct}{V}+\ln P_0\right)}$;

$P=e^{\left(\frac{Ct}{V}\right)}\cdot e^{\left(\ln P_0\right)}$;

$P=P_0e^{\left(\frac{Ct}{V}\right)}$.

С ответом не сходится знак степени. Должна получиться отрицательная степень. Я понимаю, что степень должна быть отрицательной, иначе давление будет возрастать. Где я ошибку допустил в преобразованиях?

[Metford]

megatumoxa в сообщении #1306263 писал(а):

Где я ошибку допустил в преобразованиях?

Тут, к сожалению, не в преобразованиях дело.

megatumoxa в сообщении #1306263 писал(а):

$\upsilon=Cdt$;

Запись плохая. Справа есть дифференциал, слева - нет.

megatumoxa в сообщении #1306263 писал(а):

$dPV=PCdt$

И в этом месте хотелось бы подробностей.

[megatumoxa]

Metford в сообщении #1306280 писал(а):

Запись плохая. Справа есть дифференциал, слева - нет.

$d\upsilon=Cdt$

Metford в сообщении #1306280 писал(а):

И в этом месте хотелось бы подробностей.

Что именно поподробнее? Давление зависит от объема. Объем зависит от времени. Тогда при изменении объема за единицу времени $dt$, давление изменится на $dP$.

[artur_k]

megatumoxa в сообщении #1306281 писал(а):

Что именно поподробнее? Давление зависит от объема. Объем зависит от времени. Тогда при изменении объема за единицу времени $dt$, давление изменится на $dP$.

При увеличении времени давление увеличивается или уменьшается?

Кроме того, хотя ответ получается правильный, ваше решение содержит принципиальную ошибку. Но сначала давайте разберемся со знаком.

[megatumoxa]

artur_k в сообщении #1306287 писал(а):

При увеличении времени давление увеличивается или уменьшается?

Кроме того, хотя ответ получается правильный, ваше решение содержит принципиальную ошибку. Но сначала давайте разберемся со знаком.

За единицу времени dt давление уменьшается, объем увеличивается.

[artur_k]

megatumoxa в сообщении #1306325 писал(а):

За единицу времени dt давление уменьшается, объем увеличивается.

Ну а теперь возьмите ваше уравнение $dPV=PCdt$. Здесь $V$, $P$, $C$ - величины положительные, $dt$ тоже положительная, т.к. время увеличивается. А $dP$ должна быть отрицательной, т.к. давление уменьшается, правильно? В результате в вашем уравнении слева отрицательное число, а справа - положительное, что не может быть верным.

А объем сосуда в задаче не меняется.

[megatumoxa]

artur_k в сообщении #1306338 писал(а):

Ну а теперь возьмите ваше уравнение $dPV=PCdt$. Здесь $V$, $P$, $C$ - величины положительные, $dt$ тоже положительная, т.к. время увеличивается. А $dP$ должна быть отрицательной, т.к. давление уменьшается, правильно? В результате в вашем уравнении слева отрицательное число, а справа - положительное, что не может быть верным.

А объем сосуда в задаче не меняется.

Объем сосуда не меняется, но идет откачка объема $C$, то есть суммарный объем увеличивается. И равенство $P_1V_1=P_2V_2$ будет выполняться, но давление в самом сосуде будет падать.

-- 22.04.2018, 14:49 --

artur_k в сообщении #1306338 писал(а):

$dPV=PCdt$

Так, я запутался. В этом уравнении показана зависимость давления в сосуде от откачиваемого объема. За единицу времени $dt$ откачанный объем увеличивается на $C$, а давление в сосуде падает на $dP$, но и давление откачанного воздуха должно падать. В общем, я запутался.