Задача из Демидовича

[bot]

Вычислить предел $\frac1n\sqrt[n]{n!}$

Радикальный Коши заменяем на отношение Даламбера и получаем ответ $\frac1e$.

Но задача расположена в разделе, где предполагается сведение к интегральной сумме. Прологарифмировать и получить сумму, похожую на сумму Римана - не проблема, однако функция не интегрируема в собственном смысле. Какая возня около нуля нужна, чтобы устранить это затруднение?

[Sicker]

bot
а куда n стремится?
Если к бесконечности, то получим ноль, если к нулю, то бесконечность.

-- 22.04.2018, 07:38 --

ой там факториал

-- 22.04.2018, 07:38 --

это вы его дописали или я не заметил?

[Sicker]

bot
А в чем вы видите затруднение?

[Otta]

Наверное, можно как-то естественнее, это просто что первое в голову пришло.

Пишем $a_{2n}$, выражаем через $a_n$ и $S_n=\frac 1n \sqrt[n]{(n+1)\ldots (2n)}$, получаем $4a^2_{2n}=a_nS_n$, в предположении, что искомый предел существует и равен $A$, переходим к пределу, получаем $A=1/e$. Как раз в последнем переходе понадобятся интегральные суммы.

Дополнительная проблема: придется доказывать существование предела.

Подумаю еще.

[RIP]

Думаю, нужно сыграть на монотонности логарифма.

$$\int_{0}^{1}\ln x\,\mathrm{d}x\leqslant\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\ln\left(\frac{k}{n}\right)\leqslant\int_{1/n}^{1}\ln x\,\mathrm{d}x.$$

[Sicker]

RIP
+1, я тоже самое хотел написать

[Otta]

RIP
А, кстати, да, это хорошо. Только, имхо, есть смысл сразу "подогнать" интегральную сумму под интеграл $\int_{1/n}^1\ln x$. Неравенство, во-первых, не очень-то пригождается (или я чего не вижу?), а во-вторых, у нас и несобственными интегралами на этот момент еще не пахнет.

(Тут я впала в задумчивость, насколько прилично строить по каждой интегральной сумме свой отрезок интегрирования (или подынтегральную функцию, как посмотреть. И чтобы у нас она фактически зависела от выбора разбиения.)

[bot]

Спасибо RIP - то, что надо - пляшем от интеграла. Одну точку уберу, чтоб этой несобственности пропасть.

$$\int_{\frac1n}^{1}\ln x\,\mathrm{d}x\leqslant\frac{1}{n}\sum_{k=2}^{n}\ln\left(\frac{k}{n}\right)\leqslant\int_{2/n}^{1}\ln x\,\mathrm{d}x.$$

-- Вс апр 22, 2018 14:18:08 --

На всякий случай добавлю - пропущенное слагаемое $\frac1n\ln\frac1n\to0$

[wrest]

bot в сообщении #1306289 писал(а):

Вычислить предел $\frac1n\sqrt[n]{n!}$

Интересно, что в русскоязычной Википедии, в статье про число $e$, этот предел приводится как одно из возможных определений числа $e$ (вернее, там обратный предел, но не суть).