Вероятность. Не могу сдвинуться с места.

[GlazkovD]

Задача

Прибор состоит из 3 блоков. Исправность каждого блока необходима для функционирования устройства. Отказы блоков независимы. Вероятности безотказной работы блоков соответственно равны 0.6, 0.7, 0.8. В результате испытаний прибор вышел из строя. Определить вероятность того что отказали 3 блока.

Я остановился на формуле Байеса. Однако сдесь события могут быть попарно совместны. Т.е отказы блоков. Однако чувствую что решается по формуле Байеса. Не могли бы натолкнуть на мысль ?[/b]

[Bard]

Вы правильно остановились на формуле Байеса.
Введите гипотезы - какие блоки вышли из строя (этих гипотез будет 8). Например, гипотеза $H(010)$- вышел из строя второй блок, а первый и третий нет, и т.д. Вероятности этих гипотез легко находятся, т.к. блоки выходят из строя независимо. Затем введите событие A - прибор вышел из строя и применяйте формулу Байеса.

[faruk]

Все правильно, можно решить по формуле Байеса и получить ответ.

Вероятность выхода прибора из строя: $P(A)=1-0.6 \cdot 0.7 \cdot 0.8=0.664$

Вероятность отказа всех трех блоков: $P(B_1B_2B_3)= 0.4 \cdot 0.3 \cdot 0.2=0.024$

итд...

Но если рассмотреть с практической точки зрения:
После отказа в какой-то момент времени одного из блоков прибор вышел из строя. Последующий отказ блоков уже неисправного прибора как-то не вписывается в эту упрощенную вероятностную модель.
То есть, я считаю такую постановку задачи некорректной.
Или я не прав?

[ewert]

Bard писал(а):

Вы правильно остановились на формуле Байеса.
Введите гипотезы - какие блоки вышли из строя (этих гипотез будет 8).

кстати, не обязательно восемь -- достаточно трёх: 1) все сломались (0.024), 2) все исправны (0.336) и 3) остальные варианты (соотв., 0.640).

[Парджеттер]

faruk писал(а):

Или я не прав?

Вы правы.
Вот это условие лишнее.

GlazkovD писал(а):

Исправность каждого блока необходима для функционирования устройства.

Потому что вероятность отказа всех блоков в один и тот же момент времени из условия задачи никак не выудишь. А так, если устройство не функционирует, то и отказа отдельного блока быть не может.

[venja]

Фактически задачу можно переформулировать таким образом:
определить вероятность того, что отказали все 3 блока, если известно, что отказал хотя бы один блок.
Если обозначить события:
А - отказали 3 блока
В - отказал хотя бы один блок

то требуется найти Р(А/В).
Тогда можно и без Байеса обойтись.
$P(A/B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(A)}{P(B)}$
Дальше классика.
$P(A/B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(A)}{P(B)}=\frac{0.4\cdot 0.3\cdot 0.2}{1-0.6\cdot 0.7\cdot 0.8}$

[GlazkovD]

Не могу сообразить как определить условную вероятность события А для гипотезы выхода трех. Входит в состав формулы Байсена

[ewert]

faruk писал(а):

Но если рассмотреть с практической точки зрения:
После отказа в какой-то момент времени одного из блоков прибор вышел из строя. Последующий отказ блоков уже неисправного прибора как-то не вписывается в эту упрощенную вероятностную модель.
То есть, я считаю такую постановку задачи некорректной.
Или я не прав?

Большинство вероятностных задач не то чтоб некорректны, но подразумевают очень большую долю условности. Так и тут: подразумевается, что блоки выходят из строя независимо друг от друга, и что для неисправности прибора достаточно неисправности одного блока. Конечно, это выглядит нереалистично, но -- за неимением другой информации принимается именно эта модель.

Вот типичный пример такой же условности. Какова вероятность того, что в группе из 20-ти человек хоть у кого-то совпадут дни рождения (т.е. числа и месяцы)?

Добавлено спустя 1 минуту 31 секунду:

GlazkovD писал(а):

Не могу сообразить как определить условную вероятность события А для гипотезы выхода трех. Входит в состав формулы Байсена

Если имеется в виду решение по Байесу, то тривиально -- эта условная вероятность равна единице.

[GlazkovD]

Ага. Т.е для любого отказа данная условная вероятность равна 1, а для "не отказа" равна 0.

[faruk]

ewert писал(а):

Большинство вероятностных задач не то чтоб некорректны, но подразумевают очень большую долю условности. Так и тут: подразумевается, что блоки выходят из строя независимо друг от друга, и что для неисправности прибора достаточно неисправности одного блока. Конечно, это выглядит нереалистично, но -- за неимением другой информации принимается именно эта модель.

Я боюсь, что меня неправильно поняли. Условие, что блоки выходят из строя независимо друг от друга, и что для неисправности прибора достаточно неисправности одного блока, не является противоестественным. И если бы условие задачи гласило: "В результате испытаний прибор вышел из строя. Определить вероятность того, что отказал блок 3", то и придраться к такой задаче было бы невозможно.
Прибор выходит из строя в момент отказа одного из блоков, на этом эксперимент заканчивается.

[ewert]

faruk писал(а):

И если бы условие задачи гласило: "В результате испытаний прибор вышел из строя. Определить вероятность того, что отказал блок 3", то и придраться к такой задаче было бы невозможно.
Прибор выходит из строя в момент отказа одного из блоков, на этом эксперимент заканчивается.

Вы подразумеваете, что блоки выходят из строя последовательно, один за другим, а мы до рези в глазах следим -- кто первым придёт к финишу.

Однако тогда говорить о независимости было бы нельзя. Поэтому опыт ставится совсем иначе: мы запускаем испытательный процесс и идём пить чай (или что ещё). А потом возвращаемся и смотрим, что из этого вышло.

Для сравнения. Переведём ровно ту же задачу на другой язык. Есть три лампочки, включённые последовательно. Каждая перегорает со своей вероятностью. В результате опыта цепь оказалась разорванной. Какова вероятность, что перегорели все три?

Казалось бы, если одна перегорела, то остальным лампочкам после этого всё уже до лампочки. Но это смотря как ставить опыт. Если опыт заключается в том, что цепь подвергается перегрузке, то вполне осмысленно считать перегорания независимыми, и тогда в момент перегрузки действительно перегореть может любое количество лампочек.

Другой вопрос -- являются ли перегорания физически независимыми. Это несколько сомнительно (хотя бы потому, что по мере перегорания одной лампочки перераспределяются нагрузки на другие). Но вот это и есть та условность, на которую принято идти за неимением дополнительной информации.

[Leonov]

ewert писал(а):

Другой вопрос -- являются ли перегорания физически независимыми. Это несколько сомнительно (хотя бы потому, что по мере перегорания одной лампочки перераспределяются нагрузки на другие). Но вот это и есть та условность, на которую принято идти за неимением дополнительной информации.

Просто задачу придумывал очередной деревенский математик, который понятия не имеет о приборах, о технике и вообще об отказах. Таким надо идти в школу учить детей 1-3 классов.

[Архипов]

Leonov писал(а):

Просто задачу придумывал очередной деревенский математик, который понятия не имеет о приборах, о технике и вообще об отказах. Таким надо идти в школу учить детей 1-3 классов.

Попробуйте сами технически грамотно составить эту математическую задачу. А мы обсудим.

[Henrylee]

Мне кажется, для того, чтобы задача смотрелась корректново всех смыслах, нужно добавиьт в условие, что испытание считается мгновенным, а не протяженным во времени. И вот в ходе этого точечного испытания что-то и происходит. А можно наоборот, выбросить из задачи понятие прибора, который неисправен тогда и только тогда, когда итд... а оставить только три независимых блока, исправность которых требуется.. ну скажем для полета на луну. Тогда вопрос будети звучать: какова вероятность, что испортились все 3 блока, если на луну так никто и не попал.