Переход к пределу под знаком суммы

[stiv1995]

Добрый день, возникла такая задача: показать, что предел ряду при $n \to \infty$ равен нулю

$$ \sum\limits_{j=1}^{\infty} \left[ \frac{1}{n} \left(\frac{c_j^2}{c_j^2 + n^{-1}} \right)^2 + \left(\frac{b_j}{n c_j^2 + 1} \right)^2 \right] $$

если дано, что ряды $\sum\limits_{j=1}^{\infty} c_j^2$ и $\sum\limits_{j=1}^{\infty} b_j^2$ сходятся.

Я рассматриваю два слагаемых отдельно. Со вторым просто:

$$ \sum\limits_{j=1}^{\infty} \left(\frac{b_j}{n c_j^2 + 1} \right)^2 \le \sum\limits_{j=1}^{\infty} b_j^2 = C $$

значит по признаку вейрштрасса ряд сходится равномерно относительно $n$ и можно занести предел под знак суммы.

Со вторым слагаемым хотел так же поступить и даже почти сделал

$$ \sum\limits_{j=1}^{\infty} \frac{1}{n} \left(\frac{c_j^2}{c_j^2 + n^{-1}} \right)^2 = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \frac{n}{(n + \frac{1}{ c_j^2})^2} = \sum\limits_{j=1}^{\infty}\underbrace{\frac{n}{(n + \frac{1}{ c_j^2})}}_{r_j} \times \underbrace{\frac{1}{(n + \frac{1}{ c_j^2})}}_{s_j} $$

теперь хочется применить признак Дирихле-Абеля, так как ряд из $s_j$ сходится равомерно и установить равномерную сходимость, но не хватает монотонности: (про $c_j$) ничего не известно, кроме сходимости. Что делать?

Спасибо.

[DeBill]

Ну, для абсолютно сходящегося ряда, члены его можно переставить так, чтобы обеспечить что угодно, монотонность, например. Однако, это неважно: существо дела в том, что признак Абкля-Дирихле хорош именно для условно сходящихся рядов; для абсолютно сходящихся, толку от него мало: все, что он даст, можно получить - и дешевле - и напрямую.
Так, в Вашем примере, в конце, числитель первой дроби лучше скомпоновать со второй - и сразу получим желаемые оценки, дающие равномерную сходимость.

[stiv1995]

DeBill в сообщении #1305839 писал(а):

числитель первой дроби лучше скомпоновать со второй.

Скомпоновать $r_j$ и $s_j$? Что-то я не вижу как, там ведь числитель просто $n$?

[DeBill]

stiv1995 в сообщении #1305881 писал(а):

там ведь числитель просто $n$?

Ну. И получится, что дробь - меньше 1. А второй множитель - меньше $c_j^2$....

[stiv1995]

Oх, $r_j < 1$.

Спасибо!