Тропические многочлены.

[Sicker]

Пусть на положительных числах определены операции $x\oplus y \Leftrightarrow \max(x,y)$ ; $x\otimes y \Leftrightarrow x+y$
Видно, что для них выполняются законы ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности. Если мы попытаемся тропически вычесть одно число из другого, то обнаружим, что операция возможна только тогда, когда вычитаемое число меньше, и соответственно разность будет однозначно равна наибольшему числу, из которого вычитают. А что если вычитаем из меньшего большее? Я расширил эти операции на множество вещественных чисел, с сохранением всей свойств, вот каким образом. $x\oplus y \Leftrightarrow$ равен тому числу, модуль которого максимален, но если их модули равны, и они разных знаков, то получим неопределенность, которая заключена между этими числами. Обозначим ее за $\varepsilon$. $-\lvert x\rvert \leqslant \varepsilon \leqslant \lvert x\rvert$. Т.е. если в результате алгебраических преобразований мы получили, что эпсилон равен какому то числу, то это не будет противоречием.
А умножение осталось без изменений. Т.е. я полукольцо превратил в кольцо. также можно все это расширить на множество комплексных чисел.

-- 16.04.2018, 15:28 --

$x$ и $y$ представляют собой размерности Хаусдорфа

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1304778 писал(а):

$x\oplus y \Leftrightarrow$ равен тому числу, модуль которого максимален, но если их модули равны, и они разных знаков, то получим неопределенность, которая заключена между этими числами.

Так не делается.

Sicker в сообщении #1304778 писал(а):

$x$ и $y$ представляют собой размерности Хаусдорфа

А это вообще к чему?

[Sicker]

arseniiv в сообщении #1304857 писал(а):

Так не делается.

Да я уже понял. В принципе можно было бы так ввести операцию тропического вычитания, но там тоже возникают свои трудности)

arseniiv в сообщении #1304857 писал(а):

А это вообще к чему?

Тем что это "физическая" реализация тех понятий, при сложении множеств их размерности тропически складываются, а при умножении - умножаются.

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1304987 писал(а):

Тем что это "физическая" реализация тех понятий, при сложении множеств их размерности тропически складываются, а при умножении - умножаются.

Смотря какие определения размерности и каких множеств. О контрпримере.