Комбинаторика

[Insearch]

Есть такая задача в книге "Дискретная математика и комбинаторика", Джеймса Андерсона, раздел 8.3.

Сколько трехзначных чисел <450 можно образовать, используя цифры {2,3,4,5,6,8,9}?

Проблема в том, что мой ответ не сходится с ответом, указанным в книге, в связи с чем прошу проверить правильность моего решения.

Мой вариант решения.

Воспользуемся остаточным принципом.
Пусть U - набор всех возможных вариантов формирования трехзначных чисел, тогда |U|=7x6x5=210.
Пусть S - набор трехзначных чисел, удовлетворящих указанному условию.
Пусть A - набор трехзначных чисел, первая цифра которых >= 4, тогда |A|=5x6x5=150.
Пусть B - набор трехзначных чисел, вторая цифра которых >= 5, тогда |B|=4x6x5=120.
Тогда пересечение множеств A и B будет определяться числами первая цифра которых >=4, а вторая >=5: |A/\B|=5x3x5=75.
И |A\/B|=|A|+|B|-|A/\B|=150+120-75=195.
Окончательно получаем: |S|=|U|-|A\/B|=210-195=15.

Заранее благодарен за помощь.

[Someone]

А цифры в числе обязательно должны быть различными? Вроде бы, в приведённом Вами условии этого не требуется.

[Архипов]

Число 449 имеет три разряда. Если бы использовались все 10 цифр десятичного набора , то 4*10*10 +4*10+9 (заметим, что цифра 4 - пятая по счету в наборе), но в наборе только 7 цифр. Тогда 2*7*7 +2*7 +7 .
В сумме будет 17*7=119.

[Insearch]

Цитата:

А цифры в числе обязательно должны быть различными? Вроде бы, в приведённом Вами условии этого не требуется.

По условию можно использовать каждую цифру только один раз, т.к. |U|=7x6x5=210 - с ответом сошлось.

[TOTAL]

Insearch писал(а):

По условию можно использовать каждую цифру только один раз, т.к. |U|=7x6x5=210 - с ответом сошлось.

Это такой ответ в задаче? У меня другой, какого здесь ещё не встречалось.

[nefus]

У меня ответ 152 получился.

[Insearch]

В книге указан ответ 70

[PAV]

Количество трехзначных чисел, составленных из заданных цифр, начинающихся с 2 или 3, равно 60. Очевидно, что все они удовлетворяют требуемому условию.

Осталось подсчитать количество чисел, начинающихся с 4. Не все из них нам подходят. Чтобы число нам подходило, его вторая цифра должна быть 2 или 3. Таким образом, количество таких чисел равно 2*5=10.

Итого получается как раз 70 подходящих чисел.

[TOTAL]

Insearch писал(а):

В книге указан ответ 70

$70=6 \cdot 5 + 6 \cdot 5 + 2 \cdot 5$

[nefus]

Все, я не то посчитал. Я учел еще 7-ку, и оказывается цифры у нас не могут повторятся. Если так, то да получается в итоге 70.

[Insearch]

Огромное спасибо за помощь!