2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Точность одной оценки (интеграла Римана-Стилтьеса)
Сообщение30.06.2008, 18:19 
Известна тривиальная оценка

$$\left|\int_a^b f(x)\,dg(x)\right|\le\max_{[a,b]}|f|\mathop{\mathrm{Var}}\limits_{[a,b]}g$,

где $f$ --- непрерывная функция, $g$ --- функция ограниченной вариации, и интеграл понимается в смысле Римана--Стилтьеса.

А) Для всех ли функций $f$ эта оценка неусиляема? То есть нет ли таких $f$, что для любой $g$ правую часть можно домножить на некую константу, меньшую единицы?
Б) А если известно, что $f$ неотрицательна и монотонна?

Добавлено спустя 2 часа 53 минуты 11 секунд:

Знаю, что константа эта не может быть меньше 1/2 --- всегда можно взять $g(x)=\chi_{(a,b)}(x)$.

 
 
 
 Re: Точность одной оценки
Сообщение30.06.2008, 18:59 
AD писал(а):
Известна тривиальная оценка

$$\left|\int_a^b f(x)\,dg(x)\right|\le\max_{[a,b]}|f|\mathop{\mathrm{Var}}\limits_{[a,b]}g$,

где $f$ --- непрерывная функция, $g$ --- функция ограниченной вариации, и интеграл понимается в смысле Римана--Стилтьеса.

А) Для всех ли функций $f$ эта оценка неусиляема?

ну я вообще-то где-то краем уха слыхал, будто пространством, сопряжённым к $C[a;b]$, является ровно множество функций ограниченной вариации (в смысле построения с их помощью интегралов Стильтьеса). Стал быть -- неулучшаема.

 
 
 
 
Сообщение30.06.2008, 19:06 
Че-то не соображу. Это у нас неусиляемость по $f$ при фиксированной $g$. А мне нужно наоборот. Или это одно и то же?

 
 
 
 
Сообщение30.06.2008, 19:52 
формально -- нет (ибо пр-ва нерефлексивны). Но по существу, как мне кажется, да. Вот и нету энтузиазма.

 
 
 
 
Сообщение30.06.2008, 20:22 
"Неусиляемость" оценки следует из того, что она точна для функций g(x), имеющих кусочно -непрерывную плотность (даже гладкую).

 
 
 
 
Сообщение30.06.2008, 20:26 
Bard писал(а):
... для функций g(x), имеющих кусочно -непрерывную плотность (даже гладкую).
Чего-чего? :shock: :oops: Мая твая ни панимай.

 
 
 
 Мая твая ни панимай.
Сообщение30.06.2008, 20:44 
Попробую объясниться. Возможно, неправильно понял условие. Пусть фиксированная функция \[
f(x)
\] достигает максимума в точке\[
x_0 
\]. Возьмём ступеньку в \[
\varepsilon 
\] - окрестности этой точки высоты \[
{1 \mathord{\left/
 {\vphantom {1 {\left( {2\varepsilon } \right)}}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} {\left( {2\varepsilon } \right)}}
\] (площадь под этой ступенькой равна 1). Далее, интеграл с переменным верхним пределом от этой ступеньки - это и есть функция g(x). Устремляя \[
\varepsilon 
\] к нулю, убеждаемся в точности оценки.

 
 
 
 
Сообщение30.06.2008, 20:51 
А! Все! Дошло!

$$\int_a^bf(x)\,d\chi_{[c,b]}(x)=f(c)$$

:lol: слишком просто.

 
 
 
 
Сообщение01.07.2008, 16:16 
Так. Вторая серия.

А что если я заявлю, что функция $g$ обязана быть $(b-a)$-периодической?

В этом случае нашего Хевисайдика придется поправить в точке $b$ и/или $a$, и вариация станет равна двойке, что не катит.

 
 
 
 
Сообщение01.07.2008, 19:40 
любая функция бэ-минус-а-периодична, если её продолжить по периодичности

 
 
 
 
Сообщение01.07.2008, 21:40 
ewert. Я требую, чтобы было $g(b)=g(a)$. А для приведенной выше функции это неверно, ибо, при разумных $c$, получается $g(b)=1$ и $g(a)=0$. А изменение в одной точке существенно скажется на вариации. Да и на интеграле тоже, если эта точка является концом отрезка.

 
 
 
 
Сообщение02.07.2008, 17:58 
эт, как я понял, Вы намекаете, что та самая жэ непрерывна. Ну и пусть себе. Примем для простоты, что она сперва возрастает, а потом (к концу периода) исключительно убывает. И зададим эф сперва как (-1) на промежутке убывания и как 1 на промежутке возрастания. А потом чуток эту эф сгладим. Вот и выйдет точная оценка.

 
 
 
 
Сообщение02.07.2008, 19:04 
AD.
Дополнительное условие g(a)=g(b) Означает,что для всех C справедливо равенство
\[
\int\limits_a^b {f(x)dg(x)}  = \int\limits_a^b {\left( {f(x) - C} \right)dg(x)} 
\].
Следовательно, справедливо неравенство
\[
\left| {\int\limits_a^b {f(x)dg(x)} } \right| \le \max \left| {f(x) - C} \right|\,{\mathop{\rm Var}\nolimits} \,g(x)
\].
Поэтому наилучшая константа
\[
\mathop {\min }\limits_C \,\max \left| {f(x) - C} \right|
\].
Последняя равна
\[
\frac{1}{2}\left( {\max f(x) - \min f(x)} \right)
\]

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group