дифференциальное уравнение 3-го порядка с спец пр частью

[Ivan 09]

возникли вопросы как решить следующее дифференциальное уравнение
$y'''+y''=x^2 -4 + e^{-x} \cos(x)$
я составил характеристическое уравнение, нашел корни.
но проблема с правой частью
я смотрел эльсгольца, матвеева и другие учебники.
но проблема с $e^{-x} \cos(x)$
я после быстрого просмотре не увидел похожего примера.
корни характеристического уравнения будут
$k=0 $ кратности 2.
$k=-1$
так же , если я правильно понимаю, мы ищем решение в виде $Ax^2+Bx+C$ для слагаемого $x^2-4$
и надо домножить на $x ^3$ (если у нас производная третьего порядка и получается $x^2$ )?
а для $e^{-x} \cos(x)$ ищем решение $e^{-x}(A \sin(x)+ B \cos(x))$ домноженная на x?
если были похожие примеры дайте ссылку, чтобы можно было сделать по аналогии, или посоветуйте литературу в которой рассмотрена такая правая часть.

[Dan B-Yallay]

Заменой $u = y''$ вроде сводится к простому ОДУ первого порядка, решаемое с помощью интегрирующего множителя.
Ну и затем интеграл 2 раза.

[DeBill]

Ivan 09
Ну, в Ваших учебниках наверняка все должно быть, однако...

Ivan 09 в сообщении #1304906 писал(а):

надо домножить на $x ^3$

Нет, надо домножить на "икс в тепени кратность корня", а она равна ?

Ivan 09 в сообщении #1304906 писал(а):

а для $e^{-x} \cos(x)$ ищем решение $e^{-x}(A \sin(x)+ B \cos(x))$ домноженная на x?

Нет, надо домножить на "икс в тепени кратность корня", а она равна 0 (потому как нет у Вас корня $-1+i$)

[Ivan 09]

DeBill спасибо вам, я так понимаю
Она у меня кратности 2, то есть домножить на $x^2$

[Ivan 09]

у меня остался один вопрос.
мой ответ отличается от правильного только одним слагаемым $\frac{1}{12}$ нет
$y(x)=C_3+\frac{1}{12}C_1 e^{-x}+C_2+\frac{x^4}{12}-\frac{x^3}{3}-x^2+\frac{1}{2}e^{-x}\cos(x)$
Почему у $C_1$ множитель $\frac{1}{12}$ ?
с остальным я разобрался

[Dan B-Yallay]

Ivan 09 в сообщении #1304948 писал(а):

Почему у $C_1$ множитель $\frac{1}{12}$

А чему равен $C_1$ "на самом деле"?

[Ivan 09]

там кончено же $C_3 x$
я так понимаю, вы намекаете что это константа и $\frac{1}{12}$ роли не играет. Но тогда почему её выдает компьютер, ему не стоит доверять?

[Dan B-Yallay]

Константа $C_1$ ведь неопределённая, поэтому её можно умножать/делить на любое число (кроме нуля). Почему компьютер выдаёт 1/12 - не знаю.

[Ivan 09]

Dan B-Yallay
спасибо, я разобрался с этим примером

[Dan B-Yallay]

$y(x)=...+\frac{1}{12}C_1 e^{-x} .... \frac{x^4}{12}...$
Возможно, как-то были связаны в процессе вычислений и так и осталось.