Придумайте уравнение пятой степени

[Ktina]

Вещественное число $a$ является корнем уравнения

$$x^5+x-5=0$$

Придумайте уравнение пятой степени с целыми коэффициентами, корнем которого будет число $a^2$

[waxtep]

Достаточно возвести $x^5+x=5$ в квадрат?

[gris]

Идея правильная. Только под $x$ надо понимать $\sqrt x$

[kotenok gav]

Пусть корни исходного многочлена равны $x_1, x_2, ..., x_5$.
Тогда $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0$, $x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_1x_5+x_2x_3+x_2x_3+x_2x_4+x_2x_5+x_3x_4+x_3x_5+x_4x_5=0$,
$x_3x_4x_5+x_2x_4x_5+x_2x_3x_5+x_2x_3x_4+x_1x_4x_5+x_1x_3x_5+x_1x_3x_4+x_1x_2x_5+x_1x_2x_4+x_1x_2x_3=0$,
$x_2x_3x_4x_5+x_1x_3x_4x_5+x_1x_2x_4x_5+x_1x_2x_3x_5+x_1x_2x_3x_4=1$, $x_1x_2x_3x_4x_5=5$.
Рассмотрим коэффициенты многочлена $(x-x^2_1)(x-x^2_2)(x-x^2_3)(x-x^2_4)(x-x^2_5)=x^5-(x^2_1+x^2_2+x^2_3+x^2_4+x^2_5)x^4+(x^2_1x^2_2+x^2_1x^2_3+x^2_1x^2_4+x^2_1x^2_5+x^2_2x^2_3+x^2_2x^2_3+x^2_2x^2_4+x^2_2x^2_5+x^2_3x^2_4+x^2_3x^2_5+x^2_4x^2_5)x^3-(x^2_3x^2_4x^2_5+x^2_2x^2_4x^2_5+x^2_2x^2_3x^2_5+x^2_2x^2_3x^2_4+x^2_1x^2_4x^2_5+x^2_1x^2_3x^2_5+x^2_1x^2_3x^2_4+x^2_1x^2_2x^2_5+x^2_1x^2_2x^2_4+x^2_1x^2_2x^2_3)x^2+(x^2_2x^2_3x^2_4x^2_5+x^2_1x^2_3x^2_4x^2_5+x^2_1x^2_2x^2_4x^2_5+x^2_1x^2_2x^2_3x^2_5+x^2_1x^2_2x^2_3x^2_4)x-x^2_1x^2_2x^2_3x^2_4x^2_5$:
$-(x^2_1+x^2_2+x^2_3+x^2_4+x^2_5)=-((x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_1x_5+x_2x_3+x_2x_3+x_2x_4+x_2x_5+x_3x_4+x_3x_5+x_4x_5))=-(0^2-2\times 0)=0$
$x^2_1x^2_2+x^2_1x^2_3+x^2_1x^2_4+x^2_1x^2_5+x^2_2x^2_3+x^2_2x^2_3+x^2_2x^2_4+x^2_2x^2_5+x^2_3x^2_4+x^2_3x^2_5+x^2_4x^2_5=(x^2_1+x^2_2+x^2_3+x^2_4+x^2_5)^2-(x^4_1+x^4_2+x^4_3+x^4_4+x^4_5)=-(x^4_1+x^4_2+x^4_3+x^4_4+x^4_5)$ (тут у меня дальше не выходит)
$-(x^2_3x^2_4x^2_5+x^2_2x^2_4x^2_5+x^2_2x^2_3x^2_5+x^2_2x^2_3x^2_4+x^2_1x^2_4x^2_5+x^2_1x^2_3x^2_5+x^2_1x^2_3x^2_4+x^2_1x^2_2x^2_5+x^2_1x^2_2x^2_4+x^2_1x^2_2x^2_3)=-((x^2_1+x^2_2+x^2_3+x^2_4+x^2_5)^3-(x^6_1+x^6_2+x^6_3+x^6_4+x^6_5)-\text{произведение квадратов корней с другими корнями})=(x^6_1+x^6_2+x^6_3+x^6_4+x^6_5)+\text{произведение квадратов корней с другими корнями}$ (тут у меня дальше не выходит)
$x^2_2x^2_3x^2_4x^2_5+x^2_1x^2_3x^2_4x^2_5+x^2_1x^2_2x^2_4x^2_5+x^2_1x^2_2x^2_3x^2_5+x^2_1x^2_2x^2_3x^2_4=(x^2_1+x^2_2+x^2_3+x^2_4+x^2_5)^4-(x^8_1+x^8_2+x^8_3+x^8_4+x^8_5)-\text{произведение квадратов корней с другими квадратами корней}-\text{произведение кубов корней с другими корнями (кстати, через это можно выразить x^2_1x^2_2+x^2_1x^2_3+x^2_1x^2_4+x^2_1x^2_5+x^2_2x^2_3+x^2_2x^2_3+x^2_2x^2_4+x^2_2x^2_5+x^2_3x^2_4+x^2_3x^2_5+x^2_4x^2_5).}$
$-x^2_1x^2_2x^2_3x^2_4x^2_5=-(x_1x_2x_3x_4x_5)^2=-25$

[waxtep]

gris в сообщении #1304618 писал(а):

Идея правильная. Только под $x$ надо понимать $\sqrt x$

Ага, аккуратнее написать $a^5+a=5\Rightarrow(a^2)^5+2(a^2)^3+a^2=25\Rightarrow a^2$ является корнем $x^5+2x^3+x-25=0$

[Ktina]

kotenok gav

$$ f(\sqrt{x})f(-\sqrt{x})$$

многочлен для любого многочлена

$$f $$

[Sender]

kotenok gav в сообщении #1304621 писал(а):

тут у меня дальше не выходит

Рекомендую https://lab.open.wolframcloud.com/app/. Там тыкаете в "Create a New Notebook" и можно ввести, к примеру, такой код:

Collect[SymmetricReduction[(x-x1^2)*(x-x2^2)*(x-x3^2)*(x-x4^2)*(x-x5^2),{x1,x2,x3,x4,x5},{s1,s2,s3,s4,s5}],x]

В результате имеем $\{-s5^2 + (s4^2 - 2 s3 s5) x + (-s3^2 + 2 s2 s4 - 2 s1 s5) x^2 + (s2^2 - 2 s1 s3 + 2 s4) x^3 + (-s1^2 + 2 s2) x^4 + x^5, 0\}$

[gris]

Дополнительное соображение. В условии сказано, что $a$ это действительный корень уравнения $x^5+x=5$. Спрошено составить уравнение 5-той степени с целыми коэффициентами с корнем $a^2$. Анализируя функцию, легко заметить, что действительный корень у уравнения один, причём, однократный. Мы же все озаботились нахождением уравнения, в котором конями будут квадраты всех корней, даже комплекных.
А вот пример, хотя не такой изящный, как у ТС.
$x^5 - x^4 + 5 x^3 - 5 x^2 + 4 x - 4 = 0$. Тут такое же условие, и такая же ситуация с единственным действительным корнем, и такое же решение с квадратами всех корней:
$x^5 + 9 x^4 + 23 x^3 + 7 x^2 - 24 x - 16 = 0$.
Но в отличие от уравнения ТС мы можем корень найти точно: $x=1$. И ответом к задаче может послужить, например, уравнение $x^5-1=0$.
Разумеется, невыразимость в радикалах корня уравнения ТС является изюминкой задачи. Но я уже привык видеть в задачах Ktina большие посылы в гораздо более сложную теорию, чем предполагает (оффтоп: я уже стал автоматически переставлять некоторые буквы. Вздрогнул, исправил ) легкомысленный взгляд любителя.
Вот дополнительный вопрос: а существует ли другой ответ (без удвоения всех к-в, конечно) к задаче ТС?

[Sender]

Хм, если мы раздобудем другой многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является пресловутый $a^2$, то что помешает нам взять его НОД с $x^5+2x^3+x-25$?..

[gris]

А что такого? Получим линейное уравнение $x-a^2=0$. Вот уравнение $x^5+x=2$. Нашим методом получаем уравнение $x^5+2x^3+x=4$. А разглядев целый корень получим $x^5-x^4+x=1$. Да, $GCD=x-1$. А где гарантия, что в случае ТС у нас нет линейного или кубического НОДа?

[Sender]

gris в сообщении #1304756 писал(а):

А где гарантия, что в случае ТС у нас нет линейного или кубического НОДа?

Но ведь это бы автоматически означало разрешимость уравнения $x^5+2x^3+x-25=0$ в радикалах, чего, на мой скромный взгляд, не наблюдается.

[gris]

Да я не спорю о достаточно очевидном даже для студента-математика или продвинутого старшеклассника. Но задача для восьмиклассников. Почему бы им не подумать над ней поподробнее? Глядишь, заинтересуется алгеброй многочленов или ещё чем хорошим.

[AlexSam]

Если уравнение ${{x}^{5}}+k\, {{x}^{4}}+p\, {{x}^{3}}+q\, {{x}^{2}}+t x-m=0$ имеет корень $a$, то уравнение
\mbox{${{x}^{5}}+\left( 2 p-{{k}^{2}}\right) \, {{x}^{4}}+\left(2t-2kq+{{p}^{2}}\right) \, {{x}^{3}}+\left(2pt-{{q}^{2}}+2km\right) \, {{x}^{2}}+\left({{t}^{2}}+2mq\right)x-{{m}^{2}}=0}$}
имеет корень $a^2$

[wrest]

AlexSam в сообщении #1304847 писал(а):

имеет корень $a^2$

Это-то вроде ясно. Вопрос же -- оно единственное (полагаем $a$ и $a^2$ иррациональными)?

[kotenok gav]

Sender в сообщении #1304715 писал(а):

В результате имеем

Спасибо! Только сейчас заметил ваше сообщение. Теперь получается $x^5+2x^3+x-25=0$.

Извините за некропостинг.