Найти массу газа.

[TimofeiN]

Газ с молярной массой $M$ находится под давлением $p$ между двумя одинаковыми горизонтальными пластинами. Температура газа растёт линейно от $T_1$ у нижней пластины до $T_2$ у верхней. Объём газа между пластинами равен $V$. Найдите его массу.

$pdV=\frac{RT}{M}dm$, $dV=Sdy$;

$dm=\frac{pMS}{RT}dy$;

$T(y)=T_1+\frac{y(T_2-T_1)}{h}$;

$dT=T_1+\frac{(T_2-T_1)}{h}dy$;

$dy=\frac{(dT-T_1)h}{(T_2-T_1)}$;

$m=\int\limits_{T_1}^{T_2}\frac{PShM(dT-T_1)}{TR(T_2-T_1)}$;

Где здесь ошибка? Может быть неправильно $dT$ записал?

[Metford]

TimofeiN в сообщении #1304481 писал(а):

Может быть неправильно $dT$ записал?

Однозначно неправильно. Температура $T_1$ вроде бы константа, нет?
Вообще, нужно настораживаться, когда к дифференциалу прибавляется (или вычитается из него) конечная величина.

[TimofeiN]

Metford в сообщении #1304484 писал(а):

Однозначно неправильно. Температура $T_1$ вроде бы константа, нет?
Вообще, нужно настораживаться, когда к дифференциалу прибавляется (или вычитается из него) конечная величина.

Меня это насторожило, но ничего лучше на тот момент в голову не пришло. Получается, нужно было записать дифференциал $dT$ без постоянной $T_1$:

$dT=\frac{T_2-T_1}{h}dy$;

Тогда всё сходится.

$m=\int\limits_{T_1}^{T_2}\frac{PShM}{TR(T_2-T_1)}dT=\frac{PVM}{R(T_2-T_1)}\int\limits_{T_1}^{T_2}\frac{dT}{T}=\frac{PVM}{R(T_2-T_1)}\cdot \ln\frac{T_2}{T_1}$.

[Metford]

TimofeiN в сообщении #1304488 писал(а):

Получается, нужно было записать дифференциал $dT$ без постоянной $T_1$

Я так на всякий случай только спрошу, для очистки совести: почему же Вы $T_1$ изначально оставили? Просто по невнимательности?

[TimofeiN]

Metford в сообщении #1304489 писал(а):

Я так на всякий случай только спрошу, для очистки совести: почему же Вы $T_1$ изначально оставили? Просто по невнимательности?

Еще не до конца понимаю запись дифференциалов. Если чисто логически рассуждать, то мы записываем малое изменение температуры $dT$ на очень маленьком отрезке $dy$, $T_1$ постоянная и не влияет ни на что (если я все правильно понимаю). Но наверняка у этого есть и более точное математическое объяснение.

[Metford]

TimofeiN в сообщении #1304496 писал(а):

Но наверняка у этого есть и более точное математическое объяснение.

Если Вы в институте учитесь - видимо, это так, да? - то Вам срочно нужно прочитать о дифференциале в математической литературе. Если формально говорить, то $dy=y'(x)dx$. Производная константы - нуль, так что в дифференциале она остаться не может. Ваше рассуждение нормальное, но если проделывать его каждый раз, то со временем должно надоесть

[TimofeiN]

Metford в сообщении #1304497 писал(а):

Если формально говорить, то $dy=y'(x)dx$.

$f(x,y)$;

$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$;

С этим я знаком, но что-то одна переменная меня немного сбила с пути .

В данном случае дифференциал будет таким?

$f(y)$;

$df=\frac{\partial f}{\partial y}dy$;

[Metford]

TimofeiN в сообщении #1304506 писал(а):

С этим я знаком, но что-то одна переменная меня немного сбила с пути .

Странно. Обычно всё-таки начинают с функций одной переменной.

TimofeiN в сообщении #1304506 писал(а):

В данном случае дифференциал будет таким?

$f(y)$;

$df=\frac{\partial f}{\partial y}dy$

Запись плохая. Если функция одного аргумента, то производная не может быть частной, как Вы записали. Правильно так:

$$df=\left(\frac{df}{dy}\right)dy.$$

Скобки я поставил исключительно для отделения производной в записи. Иначе совсем уж тривиально смотрится (потому что, в общем, это простая вещь).

P.S. Всё-таки почитайте математическую литературу "Курс дифференциального и интегрального счисления" Фихтенгольца, например.

[TimofeiN]

Metford в сообщении #1304516 писал(а):

Странно. Обычно всё-таки начинают с функций одной переменной.

На лекциях нам многое дают в расчете на то, что мы уже умеем с этим работать, так что приходится гуглить и изучать определенные моменты прямо на лекциях, чтобы сильно не отставать. Вот так и получилось, что с функциями двух переменных я знаком лучше.

Metford в сообщении #1304516 писал(а):

P.S. Всё-таки почитайте математическую литературу "Курс дифференциального и интегрального счисления" Фихтенгольца, например.

Почитаю. Спасибо!