* сходимость ряда

[Kornelij]

Дано векторы $v=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$, $w^T=\begin{pmatrix}1 & 0.2 & 0 & 0\end{pmatrix}$ и матрицы $W(k)=\begin{pmatrix}\frac{-1}{2k} & \frac{7}{2k} & 0 & \frac{-1}{2k} \\ \frac{-1}{10k}-\frac{1}{5} & \frac{7}{10k}+\frac{13}{10} & \frac{-1}{10} & \frac{-1}{10k}-\frac{1}{5} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
Как доказать сходимость ряда $\sum\limits_{k=1}^{\infty}v\cdot W(1)\cdot _{\dots}\cdot W(k)\cdot w$?
Я пытался по индукции оценивать слагаемые, но ничего хорошего не выходит. Численными подсчетами удалось подметить такую особенность: у матриц $M(k)=W(1)\cdot _{\dots}\cdot W(k)$ при больших значениях $k$ все строки (кроме первой) одинаковые, но не понятно, нужно ли это как-то использовать.

[DeBill]

Kornelij в сообщении #1303125 писал(а):

удалось подметить

А ее значения на паре Ваших векторов равны нулю? А то ведь не будет сходимости то...
Вообще, немного странная задача: в ней есть всякие приятные вещи, но итог сильно запутанный. Если таки этот ряд сходится, то имеет место некое чудо: обеспечить его нельзя за счет оценок, а только за счет явного (или почти явного) вычисления матриц $M$....Это означает, что, возможно, проще решать прямо исходную задачу (а непонятки возникли при ее не очень удачной переформулировке?)
Что можно сказать про Ваши матрицы:
1. Все матрицы $W(k)$ (включая $Z=W(\infty)$ )вырождены, вектор $e=(1,0,0,-1)$ лежит в их общем ядре.
2. У всех есть общее собственное значение $\lambda =1$, с собственным вектором $(\frac{6}{2k+1},1,1,1)$; два других - малы по модулю (четвертое равно 0) (Это объясняет стабилизацию матриц $M$)
3. Имеет место представление их в виде $W(k) = Z + \frac{1}{2k}w\cdot u$, где $u=(-1,7,0,-1)$ - строка. Возможно, это поможет выписать явные реккурентные соотношения на (числовые) коэф-ты Вашего ряда...
Может, имеет смысл записать все в каком-нить хорошем базисе (типа, $(z,v,w,e)$, $z - $ собственный для $Z$)....

-- 15.04.2018, 13:27 --

Ой, нет, (к 2)), не объясняет это стабилизацию, ибо гармонический ряд расходится. Опять какое то чудо (за счет хитрого взаимодействия образов-ядер...Если, конечно, Она - есть)

(Оффтоп)

Я помню, когда-то давно, один из моих студентов - физиков не поверил, что гармонический ряд расходится. Он написал прогу для счета частичных сумм, и вот, показывает мне: вот, сумма миллиона слагаемых - такая, а далее - сумма не меняется (пять знаков было) - сошелся ряд!

[Kornelij]

DeBill, это все хорошо, но пока слабо помогает...