О гипотезе Била

[arguments]

Если
$A^x+B^y=C^z$
где A,B,C,x,y,z -натуральные числа, xy,z>2, то A,B,C имеют общий простой делитель.

Представим числа A,B,C в виде
$A=ta, B=ub, C =vc$
где a,b,c - простые делители, тогда
$A^x=t^xa^x,B^y=u^yb^y,C^z=v^zc^z$
а исходное уравнение можно представить в виде
$t^xa^x+u^yb^u=v^zc^z $ (1)

Для верности гипотезы достаточно доказать, что два числа имеют общие делители.

целое (натуральное) число $(t^xa^x+u^yb^y)$представим по формуле остатков от деления целого числа на данное натуральное $(a^3+b^3)$,тогда уравнение (1) примет вид
$q(a^3+b^3)+r=v^zc^z$ где q,r-натуральные, r=0 если q=1
$q(a^3+b^3)=v^zc^z-r$ (2)
так как q-натуральное, то при делении на q обеих частей уравнения, получим равносильное
$a^3+b^3=k(a+b),k=a^2-ab+b^2$ (3)
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ (4)
или
$a^3-b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)-2b^3$
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)=(a-b)p$ (5)
где $p=a^2-ab+b^2$
из уравнения (5) следует
$pa-a^3=pb-b^3=ab(a+b)$
$pa+b^3=pb+a^3=(a+b)(a^2+b^2)$
$(a-b)(pa+b^3)=(a-b)(pb+a^3)=a^4-b^4$

составим уравнение
$\dfrac{pa+b^3}{a^4-b^4}=\dfrac{pb+a^3}{a^4-b^4}=\dfrac{p}{a^3-b^3}$ (6)
возможны три случая: a>b, b>a, a=b

1. Если a>b

$\dfrac{pa+b^3}{a^4-b^4}=\dfrac{p}{a^3-b^3}$
умножим на а правую часть равенства
$\dfrac{pa+b^3}{a^4-b^4}=\dfrac{pa}{a^4-b^3a}$ (7)
по правилам пропорции знаменатель вычтем из числителя
$\dfrac{(pa-a^4)+b^3+b^4}{a^4-b^4}=\dfrac{(pa-a^4)+b^3a}{a^4-b^3a}$ (8)
при a>b знаменатель левой части равенства больше,чем правой,следовательно,
и числитель левой части больше,чем правой. Равенство будет справедливым, если
$b^3+b^4>b^3a, b+1>a$
это означает,что равенство возможно если $a=b$или $b>a$

2. Если b>a


-- 14.04.2018, 11:30 --

если b>a
$\dfrac{pb+a^3}{b^4-a^4}=\dfrac{p}{b^3-a^3}$
умножим на b правую часть равенства
$\dfrac{pb+a^3}{b^4-a^4}=\dfrac{pb}{b^4-a^3b}$ (9)
по правилам пропорции знаменатель вычтем из числителя
$\dfrac{(pb-b^4)+a^3+a^4}{b^4-a^4}=\dfrac{(pb-b^4)+a^3b}{b^4-a^3b}$ (10)
при b>a знаменатель левой части равенства больше,чем правой,следовательно, и числитель левой части больше,чем правой,
$a^3+a^4>a^3b, a+1>b$, следовательно, справедливость возможна, если $a=b$ или$a>b$

Возможность справедливости равенства (6) при b>a в первом случае и возможность справедливости равенства при a>b во втором случае исключают друг друга и остается единственная возможность справедливости равенства: a=b
Это означает, что числа A и B имеют общие простые делители, значит и число С имеет общий простой делитель с числами A и B

[grizzly]

arguments в сообщении #1304117 писал(а):

и числитель левой части больше,чем правой

... по модулю.

И ещё обратите внимание, что равенство (5) никак не связано с предыдущим текстом, оно верно само по себе (там только в $p$ одна опечатка в знаке, но она не влияет). И всё, что дальше, тоже связано только с (5), не более того. Другими словами, Вы с небольшими (но критичными) ошибками пытаетесь доказать бином Ньютона, не более.

И, пожалуйста, оформляйте все формулы -- читать невозможно, когда одни и те же буквы по тексту выглядят по-разному.

[arguments]

grizzly
Посмотрите внимательней, между (3) и (5) уравнение,которое не обозначено, но должно быть (4), в котором показан переход от (3) к (5). При раскрытии скобок получается именно (5).

[grizzly]

arguments
1. Не важно, какими соображениями Вы пришли к 5. Оно истинно само по себе, независимо от предыдущих выкладок. В последующем Вы пользуетесь только 5. То есть Ваше рассуждение не связано с самой задачей.
2. А Вы не поняли мой первый комментарий в предыдущем сообщении? Вы же ошиблись в знаке неравенства с отрицательными дробями. Я уверен, что эту ошибку Вы не сможете исправить, не потеряв рассуждения -- какой тогда Вам смысл обсуждать методические детали? Просто учтите их как замечания на будущее.

[arguments]

Нет, оно очень важно. можно было бы его получить сразу, выразив исходное уравнение через разность кубов. Но тогда нельзя утверждать, что эта разность положительна, и нельзя применять формулу остатков от деления.
Я поняла ваш первый комментарий, но здесь мне еще предстоит обосновать свою позицию.

[arguments]

Рассматриваются два случая.
при a>b знаменатели положительные , во втором случае при b>a также,так как изменен знак в обоих знаменателях.
В уравнениях (8) и (10) какой знак имеют выражения в скобках роли не играет, они одинаковые. Конечно,можно изменить в (10) знак перед p но от этого ничего не изменится.

grizzly, я ответила на ваш вопрос?

[grizzly]

arguments в сообщении #1304173 писал(а):

при a>b

Давайте пока рассматривать только этот случай.

arguments в сообщении #1304173 писал(а):

при a>b знаменатели положительные

Конечно. Но после того, как Вы из числителя вычитаете знаменатель, дробь становится отрицательной (у Вас по условию $a>b$, значит, знаменатель больше или равен числителю).

arguments в сообщении #1304173 писал(а):

я ответила на ваш вопрос?

Ну, сами понимаете?

Давайте не будем спорить. Просто возьмите $a=3, b=1$ и пройдите с этими числами от уравнения (5) до уравнения (8) и убедитесь, что все выкладки и все равенства от (5) до (8) включительно выполняются. Но вывод, что $b+1>a$ неверен.

[arguments]

Ну. зачем же?давайте возьмем реальный пример и начнем его исследовать
$3^3+6^3=3^5$

[grizzly]

arguments
Вы можете рассматривать любые примеры. Как бы там ни было, я все свои возражения высказал и других искать не буду, поскольку эти считаю неисправимыми. Пока Вы не осознаете, что при равенстве дробей $\frac{-x}{y}=\frac{-u}{v}, x,y,u,v \in \mathbb N$, из условия $y>v$ следует $-x<-u$, дальше разговор вести нет никакого смысла.

[arguments]

grizzly в сообщении #1304176 писал(а):

Давайте не будем спорить. Просто возьмите $a=3, b=1$ и пройдите с этими числами от уравнения (5) до уравнения (8) и убедитесь, что все выкладки и все равенства от (5) до (8) включительно выполняются. Но вывод, что $b+1>a$ неверен.

Я не только осознаю,что этот вывод неверен (хотя говорилось только о возможности), но и показываю это. Во втором случае,когда
$b>a$ появляется возможность$a+1>b$ и они исключают друг друга. Об этом четко прописано мной выше, Вы,наверное, не дочитали до конца. В этом и состоит суть замысла,чтобы исключить эти возможности и оставить одну$a=b$

[grizzly]

arguments в сообщении #1304303 писал(а):

Вы,наверное, не дочитали до конца.

Вы правы -- я дочитал только до первой ошибки, которую невозможно исправить не потеряв всё доказательство (см. мои предыдущие сообщения).

[arguments]

Это не ошибка. а противоречие.
В первом случае, если (или предположим) $a>b$, справедливость равенства (8) возможна только при $b+1>a$ ,т.е возникает противоречие,или этого не может быть никогда.
Во втором случае, если (или предположим) $b>a$, справедливость равенства (10) возможна при $a+1>b$,
и снова возникает противоречие. Остается третий случай $a=b$

[grizzly]

Сделайте тогда, пожалуйста, в процитированном ниже фрагменте указанное исправление и попытайтесь продолжить доказательство.

arguments в сообщении #1304117 писал(а):

по правилам пропорции знаменатель вычтем из числителя
$\dfrac{(pa-a^4)+b^3+b^4}{a^4-b^4}=\dfrac{(pa-a^4)+b^3a}{a^4-b^3a}$ (8)
при a>b знаменатель левой части равенства больше, чем правой, следовательно,
и числитель левой части больше,чем правой меньше, чем правой (поскольку дроби отрицательные).

[arguments]

Да, в (8) и (10) знаменатели отрицательные, но если их представить как сумму модулей. С положительных их можно убрать.
Тогда все остается в силе.

[grizzly]

arguments
Я считаю, что Вы на верном пути -- в том смысле, что Вы не лишены способности признать хоть какую-то свою ошибку. Но прогресс в эту сторону всегда идёт очень медленно и болезненно. Поэтому остановимся пока на этом. А я советую Вам отдохнуть неделю-другую, а потом посмотреть на своё "доказательство" ещё раз свежим взглядом. Успехов!