Порядок коммутанта группы

[A.M.V.]

Найти порядок коммутанта группы всех самосовмещений трёхмерного куба (48 элементов).

Не знаю с чего начать.

[vpb]

А Вы подумайте не про порядок коммутанта, а сначала вообразите эту самую группу самосовмещений вообще. Например, ответьте на вопрос, почему в ней именно 48 элементов ? Или такой вопрос: можете у нее указать какие-нибудь подгруппы, в явном виде? Как ее записать как группу перестановок ? А потом как-нибудь постепенно и до коммутанта доберемся.

[A.M.V.]

В группе 24 поворота, и 24 отражения относительно плоскостей.

[vpb]

Да. Подумайте над другими указанными вопросами.

[A.M.V.]

8 поворотов вокруг середин граней, $9$ поворотов вокруг пространственных диагоналей, $6$ поворотов вокруг середин ребер.Плоскости отражения - $3$ плоскости, параллельных граням, $6$ плоскостей, через диагонали. Но $24$ отражения не получается.
Группа вращений куба изоморфна $S_4$. А что делать с отражениями?

[vpb]

Разве совокупность поворотов вокруг пространственных диагоналей является подгруппой (и аналогично с остальными "подгруппами") ? Что такое подгруппа в группе ?

[A.M.V.]

Да, в каждой подгруппе должен быть еще единичный элемент, чтоб она удовлетворяла аксиомам.

[vpb]

Я вижу, что Вы, похоже, не знаете определения подгруппы. Какой уж тут коммутант... Рекомендую почитать учебник и написать сюда определение.

[A.M.V.]

Подмножество $H $ \in G$ называется подгруппой в $G$, если оно само является группой. Необходимо выполнение трех условий:

$$1) h,g \in H\Rightarrow gh \in H,2) h \in H\Rightarrow h^{-1} \in H,3) e \in H.$$

.

[vpb]

A.M.V
Правильное определение. А почему Вы думаете (думали), что совокупность вращений вокруг пространственных диагоналей --- подгруппа ? Или же докажите, что это не так.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

На каждую формулу - два доллара: один в начале, другой в конце. Не надо заключать в знаки долларов каждый символ.


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[A.M.V.]

Подгруппой, изоморфной $S_4$ являются все вращения.