Доказать существование предела по определению.

[eugensk]

megatumoxa в сообщении #1303852 писал(а):

Раз у нас $\varepsilon$ любое произвольное положительное число, то найдется и такое, что будет выполняться данное неравенство:

$\frac{\sqrt{n}}{n}<\varepsilon$

Так нельзя, надо сказать Пусть $\varepsilon>0$ выбрано произвольно, и не менять $\varepsilon$ до конца доказательства. Оно вам дано, всё, живите с тем что дали.

[iifat]

provincialka в сообщении #1303867 писал(а):

решению не хватает обрамления правильными словами

Дф уж, вот это точно.

[megatumoxa]

Ну хоть что-то получилось. Над словами ещё поработаю. Всем спасибо!

-- 13.04.2018, 19:52 --

Чтобы не создавать новой темы из-за пустякового (наверное) вопроса, спрошу тут.

Лемма о вложенных отрезках. Вторая часть леммы, о том, что если длина отрезка стремится к нулю, то существует только одна точка, принадлежащая всем отрезкам.

В интернете наткнулся на одно доказательство:

Пусть $\lim\limits_{n\to \infty}(b_n-a_n)=0$. В соответствии с определением предела последовательности, это означает, что для любого положительного числа $\varepsilon>0$ существует такое натуральное число $N$, зависящее от $\varepsilon$, что для всех натуральных $n > N$ выполняется неравенство
(1) $|b_n-a_n|<$\varepsilon$$.

Допустим противное. Пусть существует две различные точки $C_1$ и $C_2$, $C_1\ne C_2$, принадлежащие всем отрезкам. Это означает, что для всех $n$ выполняются следующие неравенства:
$b_n\leqslant C_1\leqslant a_n$;
$b_n\leqslant C_2\leqslant a_n$.
Отсюда
$|C_1-C_2|\leqslant b_n-a_n$.
Применяя (1) имеем:
$|C_1-C_2|\leqslant \varepsilon$.
Это неравенство должно выполняться для любых положительных значений $\varepsilon$. Отсюда следует, что $C_1=C_2$.

Лемма доказана.

-- 13.04.2018, 19:54 --

Видимо, я плохо понимаю все эти пределы, окрестности точек и т.д. Я не могу понять сам вывод в конце, почему из этого следует, что $C_1=C_2$.

[EUgeneUS]

megatumoxa в сообщении #1303942 писал(а):

Над словами ещё поработаю.

без правильных слов преподаватель скажет, что Вы бездумно списали решение, и будет во многом прав.

[megatumoxa]

EUgeneUS в сообщении #1303949 писал(а):

без правильных слов преподаватель скажет, что Вы бездумно списали решение, и будет во многом прав.

Я понимаю, я попробую сейчас все расписать.

-- 13.04.2018, 20:25 --

Касательно леммы. Правильно ли я все понял?
Если мы предполагаем, что эти точки отличны друг от друга, то при уменьшении $\varepsilon$-окрестности точки будут "выпадать" из этой окрестности и неравенство уже не будет выполняться? Что противоречит определению предела.

[wrest]

megatumoxa в сообщении #1303942 писал(а):

Я не могу понять сам вывод в конце, почему из этого следует, что $C_1=C_2$.

Потому что неравенство должно выполняться для любого эпсилона.
Кратко. Модуль какого числа меньше или равен любому наперед заданному положительному числу? Модуль нуля.

Чуть длиннее. Получается так: $\forall \varepsilon>0; |a|\leqslant \varepsilon$ и чему тогда может быть равно $a$? Только нулю.

Еще чуть длиннее. Допустим противное. Пусть $C_1\ne C_2$.
Пусть тогда $|C_1-C_2|=\xi=const>0$
Поскольку $\varepsilon$ может быть любым, то положим $\varepsilon=\xi/2$
Тогда одновременно должно быть $|C_1-C_2|=\xi$ и $|C_1-C_2|\leqslant \varepsilon$, т.е. $|C_1-C_2|\leqslant\xi/2$, получили противоречие, значит $C_1=C_2$.