Доказать существование предела по определению.

[megatumoxa]

$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{n+1}$

$\left\lvert\frac{\sqrt{n}}{n+1}-0\right\rvert<\varepsilon$

$\frac{\sqrt{n}}{n+1}<\varepsilon$

$n^2<(n+1)^2\varepsilon^2$

$n^2<(n^2+2n+1)\varepsilon^2$

$(\varepsilon^2-1)n^2+2\varepsilon^2n+\varepsilon^2$>0

$(\varepsilon^2-1)(n)(n+\frac{\varepsilon^2}{\varepsilon^2-1})>0$

$(n+\frac{\varepsilon^2}{\varepsilon^2-1})>0$

$n>-\frac{\varepsilon^2}{\varepsilon^2-1}$

Может кто-нибудь проверить решение? Меня что-то минус смущает в последнем неравенстве.

[provincialka]

А что плохого в минусе? перепишите так: $n>\frac{\varepsilon^2}{1-\varepsilon^2}$
Ведь $\varepsilon$ -- число маленькое. То есть оно любое, конечно, но именно маленькие нас интересуют.

Но с этим связана и ошибка: вы делите неравенство на $\varepsilon^2-1$, а знак его при этом не меняется...

Кроме того, не все переходы между неравенствами равносильные (это не страшно само по себе, но надо сообразить, что из чего следует)

Приглядалсь: неясно как из $(\varepsilon^2-1)n^2+2\varepsilon^2n+\varepsilon^2>0$
получается $(\varepsilon^2-1)(n)(n+\frac{\varepsilon^2}{\varepsilon^2-1})>0$

Тут, видимо, алгебраическая ошибка.

PS. Честно говоря, рассуждения лучше проводить совсем в другом стиле.. Но вы же просили только ваши проверить.

[megatumoxa]

provincialka в сообщении #1303829 писал(а):

Но с этим связана и ошибка: вы делите неравенство на $\varepsilon^2-1$, а знак его при этом не меняется...

То есть, мы рассматриваем $\varepsilon$ настолько маленьким, что $\varepsilon^2-1$ будет отрицательным?

[provincialka]

Вообще говоря, эпсилон произвольно. Но при больших $\varepsilon$, например, при $\varepsilon>1$ неравенство выполняется для всех $n$, $\frac{\sqrt{n}}{n+1}<1$. Так что, да, нас интересуют маленькие эпсилон. С ними может быть проблема.

[grizzly]

megatumoxa в сообщении #1303833 писал(а):

То есть, мы рассматриваем $\varepsilon$ настолько маленьким, что $\varepsilon^2-1$ будет отрицательным?

Мы должны рассматривать любые $\varepsilon$, но если у Вас начиная с какого-то $n_0$ будет выполнено $\left\lvert\frac{\sqrt{n}}{n+1}-0\right\rvert<1/100$, то начиная с того же $n_0$ тем более будет выполнено и $\left\lvert\frac{\sqrt{n}}{n+1}-0\right\rvert<10$. Как раз поэтому:

provincialka в сообщении #1303829 писал(а):

но именно маленькие нас интересуют.

Но это всё должно быть так или иначе в Ваших рассуждениях, а они пока все засекречены :)

[megatumoxa]

provincialka в сообщении #1303829 писал(а):

Приглядалсь: неясно как из $(\varepsilon^2-1)n^2+2\varepsilon^2n+\varepsilon^2>0$
получается $(\varepsilon^2-1)(n)(n+\frac{\varepsilon^2}{\varepsilon^2-1})>0$

Тут, видимо, алгебраическая ошибка.

$ax^2+bx^2+c=0$

$(\varepsilon^2-1)n^2+2\varepsilon^2n+\varepsilon^2=0$

$D=(2\varepsilon)^2$;

Вот тут, кажется, я и допустил ошибку. В прошлый раз была лишняя степень:

$n_1=0$; $n_2=-\frac{2\varepsilon}{\varepsilon^2-1} $

Тогда:

$(\varepsilon^2-1)(n)(n+\frac{\varepsilon}{\varepsilon^2-1})>0$

$(n+\frac{\varepsilon}{\varepsilon^2-1})<0$

$n<-\frac{\varepsilon}{\varepsilon^2-1}$

$n>\frac{\varepsilon}{\varepsilon^2-1}$

[EUgeneUS]

megatumoxa в сообщении #1303823 писал(а):

$\frac{\sqrt{n}}{n+1}<\varepsilon$

$n^2<(n+1)^2\varepsilon^2$

Ошибка же. Квадрата слева не должно быть.

[megatumoxa]

EUgeneUS в сообщении #1303839 писал(а):

Ошибка же. Квадрата слева не должно быть.

Какая нелепая ошибка .

[provincialka]

Честно говоря, я вообще не очень вглядывалась в выкладки... Они настолько тут не нужны... Что даже лень их проверять.

Мне кажется, при знакомстве с этой темой надо научиться смело изменять неравенство, усиливать его. А не дискриминанты искать...

(Оффтоп)

Как-то угораздило меня вести занятия в 11 классе. Уравнение $(x-1)^2=0$. Школьники: "Надо раскрыть скобки и найти дискриминант?" упс...

Кстати, megatumoxa, у вас явно не хватает слов в рассуждениях. Типа "из это следует" или "если..., то..."

-- 13.04.2018, 14:03 --

megatumoxa в сообщении #1303838 писал(а):

$n<-\frac{\varepsilon}{\varepsilon^2-1}$

$n>\frac{\varepsilon}{\varepsilon^2-1}$

Не.. если уж все умножаете на "минус", то и $n$ тоже...

[megatumoxa]

grizzly в сообщении #1303837 писал(а):

Мы должны рассматривать любые $\varepsilon$, но если у Вас начиная с какого-то $n_0$ будет выполнено $\left\lvert\frac{\sqrt{n}}{n+1}-0\right\rvert<1/100$, то начиная с того же $n_0$ тем более будет выполнено и $\left\lvert\frac{\sqrt{n}}{n+1}-0\right\rvert<10$. Как раз поэтому:

Так можно дробь оценить?

$\frac{\sqrt{n}}{n+1}<\varepsilon$

$\frac{\sqrt{n}}{n}<\frac{\sqrt{n}}{n+1}<\varepsilon$

$\frac{1}{\sqrt{n}}<\varepsilon$

$n>\frac{1}{\varepsilon^2}$

[provincialka]

Не торопитесь! Идея хорошая, но реализация хромает... И слова, слова добавляйте! Например, так:

grizzly в сообщении #1303837 писал(а):

если у Вас начиная с какого-то $n_0$ будет выполнено $\left\lvert\frac{\sqrt{n}}{n+1}-0\right\rvert<1/100$, то начиная с того же $n_0$ тем более...

Вот это: $\frac{\sqrt{n}}{n}<\frac{\sqrt{n}}{n+1}$ явно неверно! Да и не нужно, кстати!

[megatumoxa]

provincialka в сообщении #1303848 писал(а):

Вот это: $\frac{\sqrt{n}}{n}<\frac{\sqrt{n}}{n+1}$ явно неверно!

$\frac{\sqrt{n}}{n+1}<\varepsilon$

$\frac{\sqrt{n}}{n+1}<\frac{\sqrt{n}}{n}$ $\Rightarrow$ $\frac{\sqrt{n}}{n+1}<\frac{\sqrt{n}}{n}\leqslant\varepsilon$

Раз у нас $\varepsilon$ любое произвольное положительное число, то найдется и такое, что будет выполняться данное неравенство:

$\frac{\sqrt{n}}{n}<\varepsilon$

-- 13.04.2018, 15:23 --

Если будет выполняться $\frac{\sqrt{n}}{n}<\varepsilon$, то будет выполняться и $\frac{\sqrt{n}}{n+1}<\varepsilon$.

-- 13.04.2018, 15:26 --

Тогда $n>\frac{1}{\varepsilon^2}$.

[provincialka]

Почти! Только знак следствия в другую сторону

И последнюю фразу надо поменять. Наоборот, если выполняется это это условие на $n$, то выполняется и искомое неравенство.

[iifat]

provincialka в сообщении #1303861 писал(а):

знак следствия в другую сторону

Эээ... Где? Знак следствия там один-единственный, и он там просто лишний, что в ту сторону, что в другую, имхо.

[provincialka]

iifat
да, вы правы... Там вообще что-то странное написано...
В общем, решению не хватает обрамления правильными словами.