Доказательство C4 из "Теории множеств" Бурбаки

[Xus]

Здравствуйте! У меня возник вопрос, когда я разбирался в утверждении C4 пункта 4 параграфа 2 главы 1 "Теории множеств" Бурбаков. Не знаю нужно ли приводить формулировку и доказательство. На всякий случай приведу.
Утвеждение.
Если теория $\tau'$ сильнее теории $\tau$, то все теоремы теории $\tau$ являются теоремами теории $\tau'$.
Доказательство.
Пусть $R_1, ... , R_n$ - доказательство теории $\tau$. Мы покажем шаг за шагом, что каждое $R_i$ есть теорема теории $\tau'$; тем самым критерий будет установлен. Предположим, что наше утверждение установлено для соотношений, предшествующих $R_k$, и установим его для $R_k$. Если $R_k$ - аксиома теории $\tau$, то это - теорема теории $\tau'$ по определению. Если впереди $R_k$ стоят отношения $R_i$ и $R_i \Rightarrow R_k$, то мы знаем уже, что $R_i$ и $R_i \Rightarrow R_k$ суть теоремы теории $\tau'$; следовательно, и $R_k$ есть теорема теории $\tau'$, согласно C1.

Собственно вопрос в следующем. Когда говорят, что $R_k$ - аксиома, не уточняют явная или неявная. Если она явная, тогда, действительно, по определению более сильной теории $R_k$ - теорема. Но если $R_k$ - неявная аксиома, тогда по определенияю доказательства где-то (т.е. до или после нее) во вспомагательной формативной конструкции $R_1, ... , R_n$ есть соотношение, применяя к которому схему можно получить $R_k$. Тут возможны два случая: это соотношение стоит либо до $R_k$, либо после него. Если оно стоит до $R_k$, то для него утверждение уже доказано и, применяя к нему схему (схемы не меняются при переходе от $\tau$ к $\tau'$ по определению более сильной теории), можно получить теорему теории $\tau'$. Но если соотношение, из которого получают $R_k$, стоит после самого $R_k$, то для него утверждение еще не доказано, а значит применение к нему схемы не даст теоремы теории $\tau'$. Как тогда доказать утверждение?
Проблему можно было бы устранить, изменив определение доказательства, а именно в пункте а2) аналогично с пунктом б) требовать, чтобы схема применялась только к предшествующим соотношениям и термам. Однако, авторы так не сделали.

[george66]

Могу дать общий совет: разбирайтесь в логике и теории множеств по какой-нибудь другой книге. "Теория множеств" не удалась (в отличии от других книг Бурбаков, вполне читаемых)

[Xus]

george66 в сообщении #1303422 писал(а):

Могу дать общий совет: разбирайтесь в логике и теории множеств по какой-нибудь другой книге. "Теория множеств" не удалась (в отличии от других книг Бурбаков, вполне читаемых)

Но разве книги Трактата не являются единым целым? Я заглядывал в другие книги Бурбаки (Алгебру) и, пролистав ее наискосок, обнаружил там несколько ссылок на главы первой книги. Учитывая своеобразный стиль изложения, это может стать проблемой. Но все равно спасибо за совет.

[пианист]

Вообще бы не советовал учиться по Бурбаки, эти книги для целей учебы не предназначены.
Собственно, зачем? по каждому из разделов, отраженных в монографии, можно найти прекрасную учебную литературу.

[beroal]

Xus в сообщении #1303409 писал(а):

Но если $R_k$ - неявная аксиома, тогда по определенияю доказательства где-то (т.е. до или после нее) во вспомагательной формативной конструкции $R_1, ... , R_n$ есть соотношение, применяя к которому схему можно получить $R_k$.

По-моему, вы перепутали формативные конструкции и доказательства. $R_1, ... , R_n$ есть доказательство. Формативные конструкции подтверждают грамматическую правильность знакосочетаний и могут содержать даже ложные соотношения. В условии (а_2) определения доказательства не нужна ссылка на другой элемент доказательства.

Xus в сообщении #1303439 писал(а):

Но разве книги Трактата не являются единым целым? Я заглядывал в другие книги Бурбаки (Алгебру) и, пролистав ее наискосок, обнаружил там несколько ссылок на главы первой книги.

Кстати, я заглядывал в «Теорию множеств» именно по этой причине. Ссылки из топологии.

Xus в сообщении #1303439 писал(а):

Учитывая своеобразный стиль изложения, это может стать проблемой.

Ссылаться на предыдущие результаты есть как раз нормальный стиль. Просто Бурбаки воспринял это правило серьёзно. Другие авторы пишут «как всем хорошо известно, …», не затрудняя себя ссылками вообще.

[Xus]

beroal в сообщении #1303461 писал(а):

По-моему, вы перепутали формативные конструкции и доказательства. $R_1, ... , R_n$ есть доказательство. Формативные конструкции подтверждают грамматическую правильность знакосочетаний и могут содержать даже ложные соотношения. В условии (а_2) определения доказательства не нужна ссылка на другой элемент доказательства.

Все, вопрос снят. Спасибо!

beroal в сообщении #1303461 писал(а):

Ссылаться на предыдущие результаты есть как раз нормальный стиль. Просто Бурбаки воспринял это правило серьёзно. Другие авторы пишут «как всем хорошо известно, …», не затрудняя себя ссылками вообще.

Я имел ввиду, что у Бурбаки много нестандартных обозначений. Соответственно, когда он (они) ссылается на теоремы из первой книги, может оказаться нелегко найти аналог в отечественной литературе.

[beroal]

Xus в сообщении #1303516 писал(а):

Я имел ввиду, что у Бурбаки много нестандартных обозначений. Соответственно, когда он (они) ссылается на теоремы из первой книги, может оказаться нелегко найти аналог в отечественной литературе.

Значит, я вас неправильно понял. Кстати, почитайте пункт 9 «Способ пользования данным трактатом». Сам автор утверждает, что старался не отклоняться от стандартной терминологии. Возможно, в то время наша терминология не существовала или не была стандартной. Или стандартность относительна.

[vpb]

пианист в сообщении #1303441 писал(а):

Вообще бы не советовал учиться по Бурбаки, эти книги для целей учебы не предназначены.
Собственно, зачем? по каждому из разделов, отраженных в монографии, можно найти прекрасную учебную литературу

Учеба разная бывает. Учатся же не только студенты, но и уже достаточно зрелые математики, иногда. И потом, учиться можно в разном стиле. А для изучения студентом Бурбаки действительно подходят весьма мало. Хотя местами и для студентов тоже. В общем это вопрос сложный. Я лично Бурбаков именно как учебник, весьма специфический, но хороший, годный, и воспринимаю. Но этот учебник рассчитан никоим образом не на новичков, а на людей достаточно зрелых, уже достаточно хорошо знающих математику, желающих пополнить и систематизировать свои знания.

george66 в сообщении #1303422 писал(а):

"Теория множеств" не удалась

А я вот теорию множеств как раз по Бурбакам (точнее, с помощью Бурбаков) и изучал. И остался, в принципе, вполне доволен. Однако я ее учил не как аксиоматическую теорию множеств, через математическую логику, а как наивную теорию множеств. Такие вещи, как построение натуральных чисел, просто пропускал. (Что такое натуральные числа, я вроде как знаю). А вот что такое порядковые числа, почему любые два порядковых числа, а равно и любые две мощности, сравнимы, и как доказать теорему о полном упорядочении и лемму Цорна, изучил успешно. Первые же две главы в той книжке тоже, фактически, пропустил. Зато в третьей главе, в первом же параграфе, весьма систематически изложены основные сведения об частично упорядоченных множествах, и такое изложение весьма полезно для практикующего математика.

[Xus]

beroal в сообщении #1303548 писал(а):

Значит, я вас неправильно понял. Кстати, почитайте пункт 9 «Способ пользования данным трактатом». Сам автор утверждает, что старался не отклоняться от стандартной терминологии. Возможно, в то время наша терминология не существовала или не была стандартной. Или стандартность относительна.

Кажется где-то читал, что одним из аргументов Арнольда, который критиковал бурбакизм, было как раз нестандартность обозначений. Но спорить и настаивать на этом я не буду, т.к. сам не имею полной картины состояния теории множеств и других разделов математики во Франции и СССР того периода. В любом случае, спасибо Вам за помощь!

[vpb]

Xus в сообщении #1303439 писал(а):

Но разве книги Трактата не являются единым целым? Я заглядывал в другие книги Бурбаки (Алгебру) и, пролистав ее наискосок, обнаружил там несколько ссылок на главы первой книги. Учитывая своеобразный стиль изложения, это может стать проблемой. Но все равно спасибо за совет.

Ну, если Вы пассажи типа "обедненный род структуры" пропустите мимо ушей, беды не случится. Кстати, можно, не сильно заморачиваясь, прочитать прежде всего "Сводку результатов" теории множеств, находящуюся в конце 1-го русского издания "Общей топологии" (возможно также, что в конце "Теории множеств" тоже есть "Сводка результатов", не помню...). Эта сводка результатов относится, по существу, к теоретико-множественному языку.

Можно еще, это я опять про себя, сказать так. Я изучал "Теорию множеств", воспринимая ("вычитывая между строк") оттуда мысли, относящиеся к наивной теории множеств (которая, кстати, появилась раньше, чем математическая логика, что характерно), а то, что относится к формальному языку и математической логике, игнорировал. Может, такой мой опыт еще кому-то будет полезен.

И да, все-таки прикиньте, действительно ли для Вас чтение Бурбаков актуально? Как они сами пишут в предисловии, ожидается, что человек уже прошел базовые университетские курсы математики в течение двух-трех лет. И это не преувеличение, скорей наоборот.

[Xus]

vpb в сообщении #1303571 писал(а):

И да, все-таки прикиньте, действительно ли для Вас чтение Бурбаков актуально? Как они сами пишут в предисловии, ожидается, что человек уже прошел базовые университетские курсы математики в течение двух-трех лет. И это не преувеличение, скорей наоборот.

Вы знаете, для меня вопрос актуальности изучения Бурбаки не стоит так остро, так как передо мной не стоит цели освоить тот или иной раздел за определенный срок. Математика для меня не профильный предмет, я вообще студент-химик. Математикой я занимаюсь факультативно, для себя. Тем не менее в университете я получил основные сведения из мат. анализа, линейной алгебры, теории вероятностей (элементарной), немного из теории групп и теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Т.е. надеюсь, что пойму примеры Бурбаки, а если не пойму, то я знаю в какие книги заглянуть. Бурбаки отличается последовательностью и строгостью изложения, что мне нравится. А раз нравится, то почему бы и не заниматься?

[пианист]

vpb в сообщении #1303566 писал(а):

пианист в сообщении #1303441 писал(а):

Вообще бы не советовал учиться по Бурбаки, эти книги для целей учебы не предназначены.
Собственно, зачем? по каждому из разделов, отраженных в монографии, можно найти прекрасную учебную литературу

Учеба разная бывает. Учатся же не только студенты, но и уже достаточно зрелые математики, иногда. И потом, учиться можно в разном стиле. А для изучения студентом Бурбаки действительно подходят весьма мало. Хотя местами и для студентов тоже. В общем это вопрос сложный. Я лично Бурбаков именно как учебник, весьма специфический, но хороший, годный, и воспринимаю. Но этот учебник рассчитан никоим образом не на новичков, а на людей достаточно зрелых, уже достаточно хорошо знающих математику, желающих пополнить и систематизировать свои знания.

Ну да, наверное. Как дополнение к чему-то.
Ну - или если нравится ;) так-то люди и на Malbolge программируют, почему нет? Надо лишь отдавать себе отчет, что никаких полезных навыков при этом не приобретается, если что, кодить будешь же на чем-то банальном, C++, там, Fortran, C#. А как разминка для ума вполне нормально.