вопрос про дискриминант

[FermaYails]

Здравствуйте, товарищи!
У меня такой вопрос, который вероятно покажется Вам тривиальным,: как можно минимальным числом действий получить зависимость дискриминанта кубического многочлена от его коэффициентов? Т.е. не исходя из определения дискриминанта, раскрывать скобки, перемножать и группировать 24 слагаемых.

[Markiyan Hirnyk]

Согласно Вики, дискриминант кубического многочлена $ax^3+bx^2+cx+d$ равняется $b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd.$ Количество арифметических операций, требующихся для его вычисления, пожалуйста, посчитайте самостоятельно.

[FermaYails]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1303303 писал(а):

Согласно Вики, дискриминант кубического многочлена $ax^3+bx^2+cx+d$ равняется $b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd.$ Количество арифметических операций, требующихся для его вычисления, пожалуйста, посчитайте самостоятельно.

Видимо, я неправильно сформулировал вопрос.
У меня уже есть конечный ответ, который Вы привели. Но мне хотелось бы понять, как к нему прийти из определения дискриминанта, т.е. $D = a^4 {(x_1 - x_2)^2 (x_2 - x_3)^2 (x_3 - x_1)^2}$

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

-- 12.04.2018, 05:52 --

FermaYails
Посмотрите, должно помочь. «Дискриминант кубического уравнения через коэффициенты»

[vpb]

FermaYails

Как самым простым образом вывести формулу для дискриминанта --- вопрос методологический, и тем самым несколько неопределенный. Можно, например, так, в общих чертах (детали оставляю Вам для самостоятельной работы).

1) Делим исходный многочлен на $a$, получаем $f_1=x^3+b_1x^2+c_1x+d_1$; ясно, что $D(f)=a^4D(f_1)$, поэтому достаточно выразить $D(f_1)$ через $b_1$, $c_1$, $d_1$.

2) В $f_1$ делаем замену $y=x+(b_1/3)$, получаем $f_1(x)=g(y)$, где $g(y)=y^3+py+q$, для некоторых $p$, $q$. Коэффициенты $p$, $q$ выразите через $b_1$, $c_1$, $d_1$ самостоятельно. Ясно, что $D(f_1)=D(g)$.

3) Пусть $y_1, y_2, y_3$ --- корни уравнения $y^3+py+q=0$. Тогда $D(g)$ --- симметрическая функция от $y_1, y_2, y_3$. По основной теореме о симметрических функциях, $D(g)$ должно быть многочленом от элементарных симметрических функций

$$\sigma_1=y_1+y_2+y_3, \ \ \sigma_2=y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3, \ \ \sigma_3=y_1y_2y_3.$$

При этом каждый моном от $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$, входящий в этот многочлен, должен при раскрытии давать
однородный многочлен от $y_1,y_2,y_3$ степени 6 (или, как говорят, "иметь вес 6"). Кроме того, $\sigma_1=0$, $\sigma_2=p$, $\sigma_3=-q$, поэтому присутствуют только мономы, содержащие $\sigma_2$ и $\sigma_3$. Таких мономов веса 6 всего два, а именно $\sigma_2^3$ и $\sigma_3^2$. Поэтому $D(g)=A\sigma_2^3+B\sigma_3^2=Ap^3+Bq^2$,
для некоторых $A,B$.

4) Берем два конкретных многочлена $g$, скажем один с $y_1=0$, $y_2=1$, $y_3=-1$, другой с $y_1=y_2=1$, $y_3=-2$.
Вычисляем для них дискриминант двумя способами, т.е. по определению и по формуле
$D(g)=A\sigma_2^3+B\sigma_3^2=Ap^3+Bq^2$.
Отсюда получаем систему из двух линейных уравнений на $A$, $B$.

5) Разворачиваем вычисления из пунктов 2) и 1) в обратную сторону, получаем выражение для дискриминанта в общем случае.

P.S. Пока я этот пост писал, Вам уже ссылку нашли. Но, кажется, то, что я написал, тоже не вредно будет.

[FermaYails]

Всем, большое спасибо!

[Markiyan Hirnyk]

Посмотрите также в Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 1999, 2001, 2003 параграф, посвященный нахождению некоторых конкретных дискриминантов.