FermaYailsКак самым простым образом вывести формулу для дискриминанта --- вопрос методологический, и тем самым несколько неопределенный. Можно, например, так, в общих чертах (детали оставляю Вам для самостоятельной работы).
1) Делим исходный многочлен на

, получаем

; ясно, что

, поэтому достаточно выразить

через

,

,

.
2) В

делаем замену

, получаем

, где

, для некоторых

,

. Коэффициенты

,

выразите через

,

,

самостоятельно. Ясно, что

.
3) Пусть

--- корни уравнения

. Тогда

--- симметрическая функция от

. По основной теореме о симметрических функциях,

должно быть многочленом от элементарных симметрических функций
При этом каждый моном от

,

,

, входящий в этот многочлен, должен при раскрытии давать
однородный многочлен от

степени 6 (или, как говорят, "иметь вес 6"). Кроме того,

,

,

, поэтому присутствуют только мономы, содержащие

и

. Таких мономов веса 6 всего два, а именно

и

. Поэтому

,
для некоторых

.
4) Берем два конкретных многочлена

, скажем один с

,

,

, другой с

,

.
Вычисляем для них дискриминант двумя способами, т.е. по определению и по формуле

.
Отсюда получаем систему из двух линейных уравнений на

,

.
5) Разворачиваем вычисления из пунктов 2) и 1) в обратную сторону, получаем выражение для дискриминанта в общем случае.
P.S. Пока я этот пост писал, Вам уже ссылку нашли. Но, кажется, то, что я написал, тоже не вредно будет.