Что такое трейдинг с математической точки зрения.

[fxseminar]

С математической точки зрения трейдинг (он же "биржевая игра") это:

знакопеременное интервальное суммирование приращений нестационарных числовых рядов, очень похожих на случайное блуждание, с целью добиться одновременно достаточно быстрого и достаточно гладкого роста накопительного результата этого суммирования.

Комментарии к компонентам этой формулировки.

1.1. "Нестационарные числовые ряды, очень похожие на случайное блуждание" -- это, собственно, цены торгуемых на бирже товаров ("биржевых инструментов"). Вообще говоря, цена это не (числовой) ряд, а (числовой) процесс: с какой бы выбранной частотой мы ни бросали взгляд на рынок, мы всегда обнаружим там цену, причем с числовым значением, вообще говоря, отличным от того, которое мы наблюдали при предыдущем взгляде. Но работать (во всех смыслах слова) с (непрерывными) числовыми процессами слишком сложно, поэтому мы "нарезаем" время на равные интервалы (выбранной нами длины: 1 минута, или 5 минут ... или час ... или сутки ... или неделя) -- и формируем из числового процесса числовой ряд. И с ним уже работаем.

1.2. Почему "очень похожие на случайное блуждание"? В математике (математическом дискурсе) можно найти достаточно много определений того, что такое "математическое случайное блуждание", но все они будут идеальными (математическими) конструкциями. А цены - это феномен реального мира, и какое бы определение "математического случайного блуждания" мы ни взяли, вопрос будет открыт о том, насколько реальная цена соответствует этому определению (блуждания), и насколько существенны -- с практической точки зрения -- отличия.

1.3. Констатация, что цены "очень похожи на случайное блуждание" означает, собственно, что корреляции между приращениями числового ряда малы.

2. Почему мы не можем вообще забыть про сами (некрасивые, нестационарные) ценовые ряды и говорить только про достаточно красивые (очень похожие на стационарные) ряды приращений (ценовых рядов), тем более, что суммируем мы, как заявлено, именно приращения? Потому что, как сказано выше, эмпирически нам даны не приращения, а сама цена, да ещё в виде (квази-)непрерывного процесса. Числовой ряд цены возникает в результате нашей манипуляции с этим процессом, а приращения -- в результате нашей манипуляции (взятия разности) с этим рядом.

3. "Знакопеременное интервальное суммирование приращений".

3.0. Вообще говоря, поведение людей на бирже очень многообразно, даже тех, кто "торгует" (вообще вынося за пределы рассмотрения "обслуживающий персонал"), поэтому чтобы выйти на математическую формулировку, нужно как-то ограничивать объект рассмотрения (то есть упрощать это рассмотрение). В терминах управления трейдинг можно сформулировать как "управление позициями", где "позиция" -- это некоторое количество некоторого финансового инструмента (актива, товара), купленное или проданное трейдером для того, чтобы через некоторое время его (это количество) обратно продать (или, соответственно, выкупить) и нажиться на разнице цен.

3.1. Время от открытия позиции (покупки, например) до её закрытия (обратной продажи, соответственно) -- это и есть "интервал", упомянутый в моей формулировке. А разница цен, которую трейдер надеется положить себе в карман, возникает в результате "суммирования приращений" на этом интервале.

3.2. "Приращение" без уточнений -- это, конечно, первая разность ряда. Почему я пишу "интервальное суммирование приращений" (оно же, таким образом, "интервальное суммирование первых разностей"), а не "суммирование интервальных приращений", где "интервальное приращение" -- это было бы приращение цены на интервале от момента открытия (трейдером) позиции до момента её закрытия? Математически это эквивалентно (величины равны), но концептуально мне кажется правильным субъективные (тактические) элементы работы конкретного трейдера выносить из "ядра" формулировки во внешние её слои. "Интервальное приращение" -- это результат двух решений конкретного трейдера (сначала открытие позиции, потом её закрытие), в то время как сами по себе приращения (первые разности) -- это просто другая ипостась ценового ряда.

3.3. "Суммирование" нужно понимать так (и это тонкий момент, не очень ясно выраженный в данной конкретной моей формулировке), что это не только суммирование внутри интервала, чтобы от последовательности элементарных приращений (первых разностей) перейти к приращению на интервале, но и последовательное суммирование таких интервальных приращений, описывающих результаты последовательных сделок ("трейдов"), совершаемых трейдером.

3.4. "Знакопеременное (суммирование)" -- это главное упрощение, на которое я пошёл ради конкретности ("обозримости") формулировки. Вообще говоря, доход от сделки равен интервальному приращению цены, умноженному на объём сделки (объём отрывавшейся позиции): если трейдер купил, подержал и потом продал тонну сахара, то его доход будет в 10 раз меньше, чем если бы он купил, подержал и потом продал 10 тонн сахара. То есть, вообще говоря, не "знакопеременное (суммирование)", а "взвешенное (суммирование)" ... но, произнеся "взвешенное" нужно разъяснять, на что взвешено, то есть в формулировку лезет категория "позиция", которую тоже нужно разъяснять (ибо не математический термин), и формулировка совершенно перестаёт быть лапидарной ("обозримой").

3.4.1. Далее, есть такой подход к рассуждению о трейдинге (скорее к именно к рассуждению, чем к конкретном трейдингу, поскольку этот подход сильно ограничивает "свободу маневра" трейдера) -- как "торговля одним лотом", то есть фиксированным количеством торгуемого товара: это может быть один баррель нефти, или одна тонна сахара, или 100 акций (на фондовой бирже), или один контракт (на фьючерсной бирже). Тогда "взвешенное суммирование" в самом деле оказывается просто "знакопеременным".

3.5. Ещё про "знакопеременность". Есть множество рынков, на которых трейдеры могут выигрывать не только на росте цены (начиная трейд с покупки товара и заканчивая продажей этого товара по более высокой цене), но и на падении цены -- начиная трейд с продажи товара и заканчивая покупкой (обратным выкупом) этого товара по низкой цене. Таким образом, в общем случае, "знакопеременность" это, в самом деле, "+" для одних трейдов и "-" для других (тех, что начинаются с продажи товара).

3.6. Последнее про "знакопеременность". Мы можем говорить, что некоторые интервалы движения цены (товара) мы "суммируем со знаком плюс", другие -- "суммируем со знаком минус", и наконец третьи просто игнорируем, поскольку на этих интервалах у нас просто нет никакой позиции по этому товару. Тогда "знакопеременность" означает выбор между коэффициентами "+1" и "-1".

3.6.1. Но мы можем и говорить, что суммируем все последовательные интервалы движения цены (товара), но некоторые "с коэффициентом +1", другие -- "с коэффициентом -1", и, наконец, третьи -- "с коэффициентом 0" (те, когда мы отдыхаем, не имея никакой открытой позиции по данному товару). Тогда "знакопеременность" означает выбор между этими коэффициентами "+1", "0" и "-1" (зато с полным захватом ценового ряда).

4. "Одновременно достаточно быстрый и достаточно гладкий рост накопительного результата этого суммирования".

4.1. Если рассмотреть работу трейдера как длящуюся во времени последовательность его сделок и вычислять ("накопительным суммированием") общий результат всех сделок от 1-й до k-й (где k это индекс последовательности сделок), то получим последовательность Eq(k), которая в трейдинге называется "эквити" (по-английски Equity).

4.2. Эта последовательность Eq(k) у "хорошего трейдера" должна в целом достаточно быстро ("хорошо") расти -- это означает, что трейдер хорошо работает и много зарабатывает.

4.3. Однако требование, чтобы Eq(k) росла строго монотонно, является излишним и на практике невыполнимым: некоторой доли убыточных трейдов избежать невозможно.

4.4. При этом всё-таки "хорошая" Eq(k) должна быть "достаточно гладкой" -- на ней не должно быть сильных провалов ("просадок эквити" на языке трейдеров).

4.5. Как соотносятся между собой эти два разных критерия качества Eq(k) (качества работы трейдера) -- быстрота роста и "гладкость" роста -- вопрос отдельный.

4.6. Обозначу только, что на некоторых рынках трейдер может "торговать с плечом", и плечо, которое может (безопасно) позволить себе трейдер, определяется как раз характерной относительной (в %) величиной просадок, случающихся на его Eq(k).

[Yodine]

Что такое трейдинг с математической точки зрения?
Это задача многокритериальной оптимизации.

Цитата:

Видимо многие системные трейдеры занимаются задачей многокритериальной оптимизации (МО) или векторной оптимизацией. Мат.модель задачи МО включает в себя три элемента: целевые функции; 2) ограничения; 3) граничные условия.

Задан временной ряд векторной функцией $ Price(t)=\{Open(t), High(t), Low(t), Close(t), Volume(t) \}$

Трейдеры навешивают на график разные индикаторы т.е.
$I1= Indicator_1: Price(t) --> Indicator_1( Price(t) )$
и т.д….
$In= Indicator_n: Price(t) --> Indicator_n( Price(t) )$
$I=(I1,…, In) $– векторная функция
Какие-то $Ij$ могут относиться к индикаторам ФА и/или прочим…

Далее на основе некой комбинации индикаторов и оценок ФА принимают решения о входе в торги в том или ином направлении и/или выходе из торгов, т.е
$ C = Conclusion (I1,…, Im) --> \{Long, ExitLong, Short, ExitShort, OutMarket,\}$

На основе решений $ C1…Ck $ получим кривую изменения счета Equity Curve Line - $ ECL=ECL(C1…Ck) $

Таким образом, МТС и трейдер преобразуют$ Price --> I(Price) --> C(I) --> ECL $
Т.е. получаем $ECL(C(I(Price))) $

В зависимости от конкретных видов Price и от его временных отрезков мы получим семейство кривых ECL

Нам хотелось бы выбрать самую ХОРОШУЮ

Частных целевых функций (частных критериев оптимизации) может и должно быть много:
1. $Q1 = Equity(T)= SUM \{ Equity(t) , t0 <= t <= T \} => max* $- Максимизация значения функции
2. $Q2 = P\{ Equity(T) => max* \} => max* $ - Максимизация вероятности получения макс. значения
3. $Q3 = \{ Profit factor \} => max*$
4. $Q4 = \{ Sharpe Ratio\} => max*$
5. $Q5 = \{ RINA Index \} => max*$
6. $Q6 = \{ Net Prft/Max Drawdown \} => max*$
7. $Q7 = \{ RINA Index \} => max*$
… и т.д. и т.п.
N. $Qn = \{ еще что-нибудь \} => max*$

Набор частных критериев оптимальности образует вектор-функцию (векторный критерий) $Q=(Q1, Q2,…,Qn)$
тогда наша цель $Q => max* $

Задачу МО можно свести к задаче ОДНОкритериальной оптимизации с помощью некоторой функции предпочтений лица принимающего решение (ЛПР) - свертки векторного критерия.
Например линейной $L= a1*Q1 +a2*Q2+… +an*Qn, где a1+a2+…+an=1$
$aj $– это весовые коэффициенты важности (предпочтения лицом принимающим решение) критерия $Qj$
можно в качестве функции$ L $ взять любую, которая кажется полезной
В данном случае $L(Q) => max* $

Способов свертки много: аддитивный, мультипликативный, степенной и т.д… как хочешь так и сворачивай.

В зависимости от конкретных видов Price и от его временных отрезков мы получим семейство кривых $ECL$
Тогда задача получения профита сводится к задаче оптимизации выбора оптимальной $ECL*$ такой что $L(Q) => max* $

И наконец этапы большого пути
1. определить множество $Price$ – виды и длины временных рядов
2. определить $(I1,…, In) $- состав и вид индикаторов
3. определить $C1…Ck$ - это торговые правила
4. определить $Q1, Q2,…,Qn$ – частные критерии оптимизации
5. определить $L $ - функцию предпочтения лица принимающего решение
6. оптимизировать до потери пульса ) иногда изменяя вид и состав элементов из п.п. 1-5

Можно поручить п.6 алгоритмам генетической оптимизации.

[fxseminar]

Yodine, в общем, мы говорим одно и то же (потому что об одном и том же), только разными словами и с акцентом на разные аспекты. А откуда эта цитата (интересно, была ли там дискуссия)?

-- 11.04.2018, 10:18 --

... но, думаю, не стоит противопоставлять вашу формулировку:

"трейдинг это задача многокритериальной оптимизации"

-- моей:

"трейдинг это знакопеременное интервальное суммирование приращений нестационарных числовых рядов, очень похожих на случайное блуждание, с целью добиться одновременно достаточно быстрого и достаточно гладкого роста накопительного результата этого суммирования".

Потому что выиграет в этом соревновании всё равно третья, самая лапидарная:

"трейдинг это задача".

[Yodine]

см.личку

-- 11.04.2018, 06:29 --

fxseminar
Ваша длинная формулировка это по сути попытка описания словами задачи МО (многокритериальной оптимизации).

[fxseminar]

Yodine в сообщении #1303110 писал(а):

по сути попытка описания словами задачи МО (многокритериальной оптимизации)

-- категорически не согласен.

-- 11.04.2018, 10:54 --

... начать можно с того, что трейдинг это не "оптимизация", а "открытие и закрытие позиций".

[Yodine]

fxseminar в сообщении #1303116 писал(а):

... начать можно с того, что трейдинг это не "оптимизация", а "открытие и закрытие позиций".

Преамбула. Все классификации условны, в том числе и моя, и ваша. Каков критерий, такова и классификация.
Амбула. На трейдинг можно смотреть как на "открытие и закрытие позиций", но накладно для кошелька.
Любая деятельность, совершаемая субъектом, совершается с какой-то целью. Рациональные трейдеры совершают "открытие и закрытие позиций" с целью получения прибыли или снижения рисков. Есть иные трейдеры, которые занимаются этим ради адреналина.
Постановка задачи в виде максимизации профита при каких-то ограничениях вполне стандартная постановка для любого вида бизнеса.

[fxseminar]

Yodine в сообщении #1303126 писал(а):

с целью получения прибыли или снижения рисков

-- я готов согласиться с формулировкой "с целью получения прибыли при приемлемо низком риске".

В вашей формулировке я, во-первых, не понимаю "или". А во-вторых саму "цель снижения рисков". Можно вообще не открывать позиций, тогда риск будет -- ниже некуда -- нулевым (если не считать риска попасть под трамвай, конечно).

[Yodine]

fxseminar в сообщении #1303116 писал(а):

... начать можно с того, что трейдинг это не "оптимизация", а "открытие и закрытие позиций".

а кто писал следующее?

fxseminar в сообщении #1303097 писал(а):

"трейдинг это знакопеременное интервальное суммирование

-- 11.04.2018, 08:01 --

fxseminar в сообщении #1303128 писал(а):

В вашей формулировке я, во-первых, не понимаю "или". А во-вторых саму "цель снижения рисков".

есть хеджеры, они хеджируют реальную деятельность, например урожай кофе
по сути покупают страховку, их не интересует прибыль от открытия и закрытия позиций, их интересует страховка
а профит интересует спекулянтов и инвесторов

[fxseminar]

Yodine в сообщении #1303129 писал(а):

есть хеджеры, они хеджируют реальную деятельность

-- давайте только не будем хеджеров причислять к трейдерам, иначе мы совсем запутаем непосвященную в биржевую торговлю публику.

-- 11.04.2018, 12:22 --

Yodine в сообщении #1303129 писал(а):

а кто писал следующее?

-- я не понял, в чём тут подвох?

Да, при разработке системы трейдинга возникает задача оптимизации (этой системы трейдинга). Точно также, как при разработке утюга возникает задача оптимизации (этого утюга). Но мы же не будем называть утюг "задачей многокритериальной оптимизации?!

[Yodine]

Кстати, вспомнил про ресурс smart-lab.ru , вероятно там будет более обширная аудитория.