Доказать сходимость или расходимость последовательностей

[Sovegi]

1)$\frac{1}{2\sqrt[3]{3}} + ... + \frac{1}{2\mu\sqrt[3]{3\mu}} $, где $\mu$
2)$\frac{1}{\sqrt{1\cdot2}} + ... + \frac{1}{\sqrt{\mu(\mu + 1)}}$
3)$\frac{1}{\sqrt{1}} + ... + \frac{1}{\sqrt{\mu}}$
4)$\sin(\frac{1}{1\cdot2})$ + ... + $\sin(\frac{1}{\mu(\mu + 1)})$
Используя критерий Коши получим:
1)$\frac{1}{2\mu\sqrt[3]{3\mu}} + ... + \frac{1}{2(\mu + \psi)\sqrt[3]{2(\mu + \psi)}}\geqslant \frac{\psi}{3(\mu + \psi)}$, тогда если $\mu$ = $\psi$ получается $\frac{1}{6}$ и последовательность расходится.
2)$\frac{1}{\sqrt{\mu(\mu + 1)}} + ... + \frac{1}{\sqrt{(\mu + \psi)(\mu + \psi + 1)}} \geqslant \frac{1}{\mu}+ ... + \frac{1}{\mu + \psi}$ и далее используем доказательство для гармонического ряда
3)Также сводим решение к гармоническому ряду и получаем расходимость
4)Что-то нет идей,как решать подобное

[Pphantom]

Кубический корень набирается как $\sqrt[3]{...}$, умножение в виде $\times$ тут лучше не использовать - либо ничего, либо $\cdot$, если очень уж хочется.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- необходимость внесения поправок в формулы;
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[thething]

Так это у Вас типа ряды надо исследовать на сходимость? Тогда в первом примере сходимость, т.к. гармонический ряд с показателем $>1$

-- 10.04.2018, 17:16 --

А в четвертом примере -- чему эквивалентен синус?

[SomePupil]

Sovegi, критерий Коши использовать не надо, это нерационально.

Теорему сравнения знаете? Сравнивайте члены ваших рядов с членами гармонических рядов

$$1 + \frac1{2^s} + \frac1{3^s} + \ldots + \frac1{n^s},\;\;\; s \in \mathbb N.$$

В четвертом примере можно использовать оценку $\sin{x} < x.$

-- 10.04.2018, 16:21 --

Вы везде $\mu$ вбили, какой вы трудолюбивый, однако...

[Sovegi]

thething в сообщении #1302944 писал(а):

Так это у Вас типа ряды надо исследовать на сходимость? Тогда в первом примере сходимость, т.к. гармонический ряд с показателем $>1$

-- 10.04.2018, 17:16 --

А в четвертом примере -- чему эквивалентен синус?

Своему аргументу при стремлении к нулю, я пробовал менять синус на аргументы, но ничего не вышло

[thething]

Sovegi

Sovegi в сообщении #1302950 писал(а):

Своему аргументу при стремлении к нулю, я пробовал менять синус на аргументы, но ничего не вышло

Странно, все отлично выходит, сравнивайте с гармоническим рядом

[Sovegi]

SomePupil в сообщении #1302948 писал(а):

Sovegi, критерий Коши использовать не надо, это нерационально.

Теорему сравнения знаете? Сравнивайте члены ваших рядов с членами гармонических рядов

$$1 + \frac1{2^s} + \frac1{3^s} + \ldots + \frac1{n^s},\;\;\; s \in \mathbb N.$$

В четвертом примере можно использовать оценку $\sin{x} < x.$

-- 10.04.2018, 16:21 --

Вы везде $\mu$ вбили, какой вы трудолюбивый, однако...

Условие номера требует использовать критерий Коши

[SomePupil]

(Оффтоп)

При работе с рядами сравнивать $-$ как дышать. А тут встают поперек горла и требуют критерий Коши. Сочувствую.

При использовании критерия Коши Вы все равно можете оценить конечную сумму через элементы гармонического ряда.

[Sovegi]

thething в сообщении #1302951 писал(а):

Sovegi

Sovegi в сообщении #1302950 писал(а):

Своему аргументу при стремлении к нулю, я пробовал менять синус на аргументы, но ничего не вышло

Странно, все отлично выходит, сравнивайте с гармоническим рядом

Да, сейчас вроде вышло, даже и без сравнения с ним,спасибо за помощь

-- 10.04.2018, 16:40 --

SomePupil в сообщении #1302954 писал(а):

(Оффтоп)

При работе с рядами сравнивать $-$ как дышать. А тут встают поперек горла и требуют критерий Коши. Сочувствую.

При использовании критерия Коши Вы все равно можете оценить конечную сумму через элементы гармонического ряда.

Понял, благодарю

[DeBill]

Sovegi
Но Вы осознали, что в первом примере у Вас - ошибка? (в оценке). И ответ там - сходится....