Оператор k и полный момент, непонятная формула.

[Ascold]

Если ввести, как у Шиффа (44.10) оператор

$$\hbar k=\beta(\pmb{\sigma}'\cdot\mathbf{L}+\hbar),$$

где $\pmb{\sigma}'$ - четырёхрядные блочно-диагональные матрицы с матрицами Паули вдоль главной диагонали, то его квадрат будет

$$\hbar^2k^2=(\pmb{\sigma}'\cdot\mathbf{L})^2+2\hbar\pmb{\sigma}'\cdot\mathbf{L}+\hbar^2,$$

что Шифф переписывает (44.12) как

$$\hbar^2k^2=(\mathbf{L}+\frac{1}{2}\hbar\pmb{\sigma}')^2+\frac{1}{4}\hbar^2.$$

Почему так - куда делось одно из слагаемых $\hbar\pmb{\sigma}'\cdot\mathbf{L}$ и $\frac{1}{2}\hbar^2,$ если раскрыть скобки в последнем выражении?

[Cos(x-pi/2)]

Потому что в выражении

$(\pmb{\sigma}' \cdot \mathbf{L})^2=(\sigma'_xL_x+\sigma'_y L_y+\sigma'_z L_z)^2$

после раскрытия скобок возникают наряду с членами $L_x^2+L_y^2+L_z^2$ ещё и перекрёстные члены. Преобразуя их с помощью коммутационных соотношений для матриц $\sigma'_i,$ а также с помощью коммутационных соотношений для операторов $L_i, $ в итоге получим:

$(\pmb{\sigma}' \cdot \mathbf{L})^2=\mathbf{L}^2-\hbar \, \pmb{\sigma}' \cdot \mathbf{L}.$

Ну и надо также учесть, что

$\pmb{\sigma}' ^2=\sigma'_x^2+\sigma'_y^2+\sigma'_z^2=3.$